Pseudoprimzahlen: Zeisel-Zahlen

Pseudoprimzahlen

Die Zeisel-Zahl ist eine nach dem Mathematiker Helmut Zeisel benannte Zahl, die das Produkt wenigstens dreier Primzahlen ist, die einer bestimmten linearen Rekursion genügen. Eine besondere Bedeutung in der Mathematik haben sie nicht. Auf Grund gewisser Ähnlichkeiten mit den Carmichael-Zahlen sind sie hier aufgeführt.

Definition

p₀ = 1

p_n = a·p_n-1 + b

Dabei muss jedes p_n mit $n\geq 1$ eine Primzahl ergeben, und sowohl a als auch b sind für alle p_n konstant. Die Zeisel-Zahl z ist dann das Produkt $p_{1}\cdot p_{2}\cdot ...\cdot p_{n}$.

Beispiel an der Zeisel-Zahl 1885

In diesem Beispiel ist a = 2 und b = 3.

p0 = 1
p1 = a·p0 + b = 2·1  + 3 = 5
p2 = a·p1 + b = 2·5  + 3 = 13
p3 = a·p2 + b = 2·13 + 3 = 29

z = p1 · p2 · p3 = 5 · 13 · 29 = 1885

Zusammenhang zwischen den Zeisel-Zahlen und den Carmichael-Zahlen nach J.Chernick

Die Bildungsregel der Carmichael-Zahlen nach J. Chernick lautet (6n+1)*(12n+1)*(18n+1). Diese Bildungsregel ist identisch mit der Bildungsregel für Zeisel-Zahlen mit einem a=1 und b=6n. Demzufolge sind alle Carmichael-Zahlen nach Chernick, die ein Produkt aus drei Primzahlen bilden, auch Zeisel-Zahlen.

Eine Liste von Zeisel-Zahlen

Die Carmichael-Zahlen sind fett geschrieben.

a b zn 1 2 105 3*5*7 4 -1 1419 3*11*43 1 6 1729 7*13*19 2 3 1885 5*13*29 3 2 4505 5*17*53 2 5 5719 7*19*43 10 -7 15387 3*23*223 2 9 24211 11*31*71 6 -1 25085 5*29*173 4 3 27559 7*31*127 13 -10 31929 3*29*367 8 -3 54205 5*37*293 3 8 59081 11*41*131 2 3 114985 5*13*29*61 25 -22 207177 3*53*1303 5 6 208681 11*61*311 9 -2 233569 7*61*547 28 -25 287979 3*59*1627 1 36 294409 37*73*109 6 5 336611 11*71*431 5 8 353977 13*73*373 17 -12 448585 5*73*1229

a b zn 34 -31 507579 3*71*2383 15 -8 982513 7*97*1447 9 2 1012121 11*101*911 23 -18 1073305 5*97*2213 8 5 1242709 13*109*877 49 -46 1485609 3*101*4903 55 -52 2089257 3*113*6163 12 -1 2263811 11*131*1571 4 27 2953711 31*151*631 33 -28 3077705 5*137*4493 14 -3 3506371 11*151*2111 2 9 3655861 11*31*71*151 36 -31 3973085 5*149*5333 2 59 4648261 61*181*421 4 33 5069629 37*181*757 2 65 6173179 67*199*463 42 -37 6253085 5*173*7229 11 6 6985249 17*193*2129 8 15 7355239 23*199*1607 2 69 7355671 71*211*491 10 9 7558219 19*199*1999 4 39 8011459 43*211*883

a b zn 88 -85 8413179 3*179*15667 6 25 8444431 31*211*1291 47 -42 8712985 5*193*9029 48 -43 9271805 5*197*9413 20 -9 9773731 11*211*4211 57 -52 15411785 5*233*13229 3 68 18175361 71*281*911 5 42 18578113 47*277*1427 6 35 19827641 41*281*1721 9 20 20771801 29*281*2549 3 8 23691481 11*41*131*401 68 -63 26000605 5*277*18773 5 48 26758057 53*313*1613 10 21 34179391 31*331*3331 14 9 35347159 23*331*4643 77 -72 37605385 5*313*24029 20 -3 38596273 17*337*6737 2 125 42501439 127*379*883 15 8 43055057 23*353*5303 83 -78 46999705 5*337*27893 8 35 49982899 43*379*3067 3 98 52691801 101*401*1301

a b zn 2 135 53399449 137*409*953 30 -17 54177877 13*373*11173 3 100 55902529 103*409*1327 1 210 56052361 211*421*631 9 34 69207769 43*421*3823 65 -58 71550913 7*397*25747 18 5 72730439 23*419*7547 11 26 76724569 37*433*4789 10 33 92835667 43*463*4663 2 165 96916279 167*499*1163 6 65 104966471 71*491*3011 1 270 118901521 271*541*811 8 -1 126893905 5*37*293*2341 4 105 133800661 109*541*2269 29 -10 161164441 19*541*15679 1 306 172947529 307*613*919 3 148 177055201 151*601*1951 15 22 185245273 37*577*8677 5 98 199708657 103*613*3163 4 123 212122639 127*631*2647 1 330 216821881 331*661*991 16 21 222931549 37*613*9829

Geschichte

Der Name "Zeisel-Zahl" wurde vermutlich von Kevin Brown eingeführt, der Zahlen $k$ suchte, für die der Ausdruck $2^{k-1}+k$ eine Primzahl ergibt. In einem Posting in die Usenet-Newsgroup sci.math vom 24. Februar 1994 lieferte Helmut Zeisel die Zahl 1885 als eine weitere Lösung. Später wurde (durch Kevin Brown?) entdeckt, dass die Primfaktoren von 1885 die oben beschriebenene Eigenschaft haben. Ein Name der Art Brown-Zeisel-Zahlen wäre daher passender.

Verallgemeinerung

Man muss sich bei der Bildung der Zeisel-Zahl nicht auf $p_{0}=1$ beschränken. Auch davon abweichende Werte sind möglich.

Beispiele

• $p_{0}=4,\ a=2,\ b=5$

p0 = 4
p1 = a·p0 + b = 2·4  + 5 = 13
p2 = a·p1 + b = 2·13 + 5 = 31
p3 = a·p2 + b = 2·31 + 5 = 67

z = p1 · p2 · p3 = 13 · 31 · 67 = 27001

• $p_{0}=-1,\ a=8,\ b=27$

p0 = -1
p1 = a·p0 + b = 8·-1   + 27 =   19
p2 = a·p1 + b = 8·19   + 27 =  179
p3 = a·p2 + b = 28·179 + 27 = 1459

z = p1 · p2 · p3 = 19 · 179 · 1459 = 4962059

• $p_{0}=13,\ a=10,\ b=9$

p0 = 13
p1 = 139
p2 = 1399
p3 = 13999
p4 = 139999
p5 = 1399999

z = 139 · 1399  · 13999 · 139999 · 1399999 = 533558677367032199539

Weblinks

• Sloane Sequence A051015
• Zeisel Number from MathWorld (englisch)
• MathPages - Zeisel Numbers (englisch)

_{Quelle: Die Zeisel-Zahlen sind aus dem Artikel Zeisel-Zahl der deutsprachigen de.wikipedia.org entnommen.}