Primzahlen: V. Kapitel: Primzahllücken


Einleitung

Bearbeiten

In diesem Kapitel geht es um die Lücken zwischen zwei Primzahlen und deren Größe.

Primzahllücken

Bearbeiten

Was versteht man unter einer Primzahllücke? Das ist ganz einfach. Eine Primzahllücke ist der Abstand zwischen zwei aufeinanderfolgenden Primzahlen. Als Länge der Primzahllücke bezeichnet man die Differenz zweier aufeinanderfolgender Primzahlen. Die bekannteste Form der Primzahllücken sind die Primzahlzwillinge, zwei Primzahlen   und  , zwischen denen genau eine Nichtprimzahl liegt.

Gibt es die Möglichkeit, Primzahllücken einer bestimmten Mindestlänge zu konstruieren?

Bearbeiten

Ja, die Möglichkeit gibt es. Hier werden drei Vorgehensweisen vorgestellt:

Konstruktion einer Primzahllücke über die Fakultät:

Bearbeiten

Die Fakultät   hat die folgende Eigenschaft, dass sie durch alle Zahlen von 2 bis n teilbar ist. Demzufolge ist eine Zahl   mit   auch durch   teilbar, und damit keine Primzahl. Auf diese Weise bekommt man eine feste Lücke aus   Nichtprimzahlen zwischen   und  .

Beispiel:

Bearbeiten

n=6

  ist durch 2 teilbar.
  ist durch 3 teilbar.
  ist durch 4 teilbar.
  ist durch 5 teilbar.
  ist durch 6 teilbar.

Konstruktion einer Primzahllücke über das kgV

Bearbeiten

Das folgende Verfahren ist mit der Konstruktion über die Fakultät verwandt. Das   ist, wie die Fakultät  , durch alle Zahlen zwischen 2 und n teilbar. Wie bei dem Verfahren mit der Fakultät gilt, dass das   mit   durch   teilbar ist, und damit keine Primzahl sein kann. Und genauso wie bei dem Verfahren mit der Fakultät bekommt man eine feste Lücke aus   Nichtprimzahlen zwischen   und  .

Beispiel:

Bearbeiten

n=6

  ist durch 2 teilbar.
  ist durch 3 teilbar.
  ist durch 4 teilbar.
  ist durch 5 teilbar.
  ist durch 6 teilbar.

Konstruktion einer Primzahllücke über das Primorial

Bearbeiten

Dieses Verfahren ist etwas subtiler. Es beruht auf einer mathematischen Operation, die im englischen primorial genannt wird. Das primorial   ist das Produkt aller Primzahlen zwischen 2 und  . Hierbei ist nicht sichergestellt, dass alle natürlichen Zahlen zwischen 2 und   als Teiler vorhanden sind. Aber dies ist auch gar nicht nötig, denn alle Zahlen zwischen 2 und   können nur Primzahlen zwischen 2 und   als Faktoren enthalten.

Beispiel:

Bearbeiten

n=5 (bis  , da erst 7 die nächst höhere Primzahl ist)

  ist durch 2 teilbar.
  ist durch 3 teilbar.
  ist durch 2 teilbar.
  ist durch 5 teilbar.
  ist durch 6 teilbar.

Einschränkung

Bearbeiten

Keines der genannten Verfahren garantiert, dass die direkt an die Lücke grenzenden Zahlen Primzahlen sind. Die eigentliche Lücke kann in Wirklichkeit wesentlich größer sein:

Beispiele:

Bearbeiten

n=8

  ist durch 2 teilbar.
  ist durch 3 teilbar.
  ist durch 4 teilbar.
  ist durch 5 teilbar.
  ist durch 6 teilbar.
  ist durch 7 teilbar.
  ist durch 8 teilbar.

Die nächsten Primzahlen sind allerdings erst 40289 und 40343, und damit liegen 53 statt nur 7 Nichtprimzahlen in der Lücke.

n=11

  ist durch 2 teilbar.
  ist durch 3 teilbar.
  ist durch 4 teilbar.
  ist durch 5 teilbar.
  ist durch 6 teilbar.
  ist durch 7 teilbar.
  ist durch 8 teilbar.
  ist durch 9 teilbar.
  ist durch 10 teilbar.
  ist durch 11 teilbar.

Die nächsten Primzahlen sind allerdings erst 27701 und 27733, und damit liegen 31 statt nur 10 Nichtprimzahlen in der Lücke.

n=11

  ist durch 2 teilbar.
  ist durch 3 teilbar.
  ist durch 2 teilbar.
  ist durch 5 teilbar.
  ist durch 6 teilbar.
  ist durch 7 teilbar.
  ist durch 2 teilbar.
  ist durch 3 teilbar.
  ist durch 10 teilbar.
  ist durch 11 teilbar.

Die nächsten Primzahlen sind allerdings erst 2311 und 2333, und damit liegen 21 statt nur 10 Nichtprimzahlen in der Lücke.