Primzahlen: Ic. Kapitel: Der kleine Fermat

Primzahlen

In Kapitel I. Eigenschaften wurde der kleine fermatsche Satz $a^{n}-a\equiv 0{\pmod {n}}\$ aufgeführt, dass also $a^{n}-a\$ durch $n\$ teilbar ist, wenn $n\$ eine Primzahl ist. Man kann $a^{p}-a\$, mit ihrer Eigenschaft, durch die Primzahl $p\$ teilbar zu sein, immer wieder mal antreffen. Im weiteren wird $a^{p}-a\$ als $a^{p}-a^{1}\$ dargestellt.

Der kleine Fermat und die allgemeinen Lucas-Folge V(P,Q) = aⁿ + bⁿ

Für alle Lucas-Folgen $V_{n}(P,Q)=a^{n}+b^{n}\$ mit $P>0\$ und $Q=\pm 1$ gilt, dass $(V_{n}(P,Q)-P)\$ durch $n\$ teilbar ist, wenn $n\$ eine Primzahl ist. Oder anders ausgedrückt:

$V_{n}(P,Q)\equiv P{\pmod {n}}$ für alle $n$, die Primzahlen sind.

Es trifft nun zu, dass $V_{1}(P,Q)\$ immer $P\$ ist. Demzufolge lässt sich auch schreiben: Wenn $n\$ eine Primzahl ist, dann gilt, dass $V_{n}(P,Q)-V_{1}(P,Q)\$ durch $n\$ teilbar ist. Das sieht dem kleinen fermatschen Satz ziemlich ähnlich. Und in der Tat ist der Spezialfall: $V_{n}(A+1,A)-V_{1}(A+1,A)\$ mit $A\geq 1$ identisch mit dem kleinen fermatschen Satz $a^{n}-a^{1}\$.