Primzahlen: IV. Kapitel: Der Primzahl-Satz

Einleitung

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In diesem Kapitel geht es um die Verteilung der Primzahlen

Die abzählbare Unendlichkeit

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Wie im II. Kapitel: Die Unendlichkeit der Primzahlen gezeigt, bilden die Primzahlen eine abzählbar unendliche Teilmenge der Natürlichen Zahlen. Die Menge   der Primzahlen lässt sich also abzählen:

 

Eine mögliche Zuordnung wäre:

 

Die Primzahl-Funktion

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Die Funktion   gibt die Anzahl aller Primzahlen bis zu einer vorgegebenen Grenze   an. So gibt es unter 100 25 Primzahlen, und demzufolge ist  . Aber wie lässt sich   berechnen?

Mindestens so:   falls   keine Primzahl ist und   falls   Primzahl

  • Beispiel
n π(n)
10 4
100 25
1000 168
10.000 1229
100.000 9592
1.000.000 78498

Der Primzahlsatz

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Der Primzahlsatz besagt, wie sich die Primzahl-Funktion asymptotisch verhält. Es zeigt sich, dass   sich asymptotisch verhält wie die Funktion  , d. h. die Funktionen   und   sind asymptotisch äquivalent. Formel:

 

Eine noch bessere Approximation als   ist der Integrallogarithmus

 

Die Ableitung des Integrallogarithmus ist eine Näherung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl   eine Primzahl ist:

  und
  für ungerade Zahlen  .