Primzahlen: IV. Kapitel: Der Primzahl-Satz

Primzahlen

Einleitung

In diesem Kapitel geht es um die Verteilung der Primzahlen

Die abzählbare Unendlichkeit

Wie im II. Kapitel: Die Unendlichkeit der Primzahlen gezeigt, bilden die Primzahlen eine abzählbar unendliche Teilmenge der Natürlichen Zahlen. Die Menge $P$ der Primzahlen lässt sich also abzählen:

$P=\{p_{1},p_{2},p_{3},\ldots \}.$

Eine mögliche Zuordnung wäre:

$p_{1}=2,\ p_{2}=3,\ p_{3}=5,\ p_{4}=7,\ p_{5}=11,\ p_{6}=13,\ p_{7}=17,\ \ldots$

Die Primzahl-Funktion

Die Funktion $\pi (n)$ gibt die Anzahl aller Primzahlen bis zu einer vorgegebenen Grenze $n$ an. So gibt es unter 100 25 Primzahlen, und demzufolge ist $\pi (100)=25$. Aber wie lässt sich $\pi (n)$ berechnen?

Mindestens so: $\pi (n+1)=\pi (n)$ falls $n+1$ keine Primzahl ist und $\pi (n+1)=\pi (n)+1$ falls $n+1$ Primzahl

• Beispiel

n	π(n)
10	4
100	25
1000	168
10.000	1229
100.000	9592
1.000.000	78498

Der Primzahlsatz

Der Primzahlsatz besagt, wie sich die Primzahl-Funktion asymptotisch verhält. Es zeigt sich, dass $\pi (n)$ sich asymptotisch verhält wie die Funktion $n/{\ln(n)}$, d. h. die Funktionen $\pi (n)$ und $n/{\ln(n)}$ sind asymptotisch äquivalent. Formel:

$\lim _{n\to \infty }{\frac {\pi (n)}{\frac {n}{\ln(n)}}}=1.$

Eine noch bessere Approximation als ${\tfrac {n}{\ln(n)}}$ ist der Integrallogarithmus

$\mathrm {Li} (n):=\int _{2}^{n}{\frac {\mathrm {d} t}{\ln t}}.$

Die Ableitung des Integrallogarithmus ist eine Näherung für die Wahrscheinlichkeit, dass eine ganze Zahl $n>7$ eine Primzahl ist:

$P(n)={\frac {1}{\ln(n)}}$ und

$P_{odd}(n)={\frac {2}{\ln(n)}}$ für ungerade Zahlen $n>7$.