Physikunterricht/ Mathematische Hintergründe

Mathematische Hintergründe

Um Physik zu betreiben, ist eine Menge an mathematischem Hintergrundwissen von Nöten. Jeder sollte sie kennen: die Variablen. Ebenfalls gibt es Konstanten. In der Physik können wir sagen, dass jede physikalische Größe eine Variable ist, zum Beispiel die Länge eines Lineals, genauso wie aber beispielsweise das Spannung-Stromstärke-Verhältnis, genannt Widerstand. Dabei bestehen die meisten Größen aus einem Koeffizienten und einer Einheit:

$A=n\mathrm {E}$

$(1)$

Mit $A$ bezeichnen wir hier die Größe, mit $n$ den Koeffizienten und mit $\mathrm {E}$ die Einheit. In manchen Fällen aber können wir selber Variablen definieren, die keine Einheit haben, aber auch sonst trifft man häufig auf Variablen oder, viel mehr, auf Konstanten, die nur aus einer Zahl bestehen. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn wir ein Volumenverhältnis und ein Längenverhältnis definieren:

$a_{V}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}$ $a_{l}={\frac {l_{1}}{l_{2}}}$

Für zwei Würfel gilt:

$a_{V}=a_{l}^{3}$

Formal ist eine Einheit als Faktor in einer Multiplikation anzusehen. Deshalb lässt sich als Einheit folgendes bestimmen:

$l_{1,2}=a_{1,2}\mathrm {m}$

Daraus folgt:

$a_{l}={\frac {l_{1}}{l_{2}}}={\frac {a_{1}\mathrm {m} }{a_{2}\mathrm {m} }}={\frac {a_{1}}{a_{2}}}$

$(2)$

Denn gleiche Faktoren im Zähler und Nenner eines Bruches kürzen sich weg:

${\frac {a\cdot c}{b\cdot c}}={\frac {a}{b}}$

$(3)$

Wichtig zu wissen ist auch folgendes, da wir in der Physik sehr oft Größen miteinander multiplizieren oder dividieren, fast nie addieren oder subtrahieren, da letzteres nur mit Größen möglich ist, die sich auf die gleiche Einheit bringen lassen:

${\frac {a}{\left({\frac {b}{c}}\right)}}={\frac {ac}{b}}=a{\frac {c}{b}}=c{\frac {a}{b}}$

$(4)$

Daraus folgt:

${\frac {\left({\frac {a}{b}}\right)}{c}}={\frac {a}{bc}}$

$(5)$

Genauso ist die Kenntnis der folgenden Formeln wichtig:

Binomische Formeln

$(a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$

$(6)$

$(a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}$

$(7)$

$(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}$

$(8)$

Weiterhin lassen sich Formeln für größere Polynome herleiten. Für $(a+b)^{5}$ zum Beispiel ist es recht umständlich, Binome der Art $(a+b)^{2}(a+b)^{2}(a+b)$ aufzulösen (=ausmultiplizieren). Stattdessen greift man auf das Pascalsche Dreieck zurück:

${\begin{array}{c}1\\1\qquad 1\\1\qquad 2\qquad 1\\1\qquad 3\qquad 3\qquad 1\\1\qquad 4\qquad 6\qquad 4\qquad 1\\1\qquad 5\qquad 10\qquad 10\qquad 5\qquad 1\\\dots \end{array}}$

Dabei fällt folgendes auf:

${\begin{array}{c}(1)\\(1)\qquad (1)\\(1)\qquad (1+1)\qquad (1)\\(1)\qquad (1+2)\qquad (1+2)\qquad (1)\\(1)\qquad (1+3)\qquad (3+3)\qquad (1+3)\qquad (1)\\\dots \end{array}}$

Die Zahlen entstehen immer, indem die Zahlen rechts und links darüber addiert werden. Man hat in Zeile 5 die sog. Koeffizienten stehen, die für uns wichtig sind: $1,5,10,10,5,1$. Nun lässt sich bequem schreiben:

$(a+b)^{5}=1a^{0}b^{5}+5a^{1}b^{4}+10a^{2}b^{3}+10a^{3}b^{2}+5a^{4}b^{1}+1a^{5}b^{0}$

$(a+b)^{5}=b^{5}+5ab^{4}+10a^{2}b^{3}+10a^{3}b^{2}+5a^{4}b+a^{5}$

$(9)$

Denn (zur Erinnerung): Alle Zahlen außer 0 ergeben „hoch 0“ 1. Formal lässt sich das übrigens so schreiben:

$\forall a\in \mathbb {R} \setminus \{0\}:\quad a^{0}=1$

Schau die die Formeln in aller Ruhe an.

Statt des Pascalschen Dreiecks ist auch formal der sog. Binomische Lehrsatz von Bedeutung:

$(a+b)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cdot a^{n}b^{n-k}$

Übung zu den binomischen Formeln

Das folgende Beispiel stammt aus dem Buch „Physik“ von Jay Orear: Zeige, dass ${\frac {1+\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}={\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}$.

Ich empfehle, das Beispiel zuerst eigenständig zu versuchen. Solltest du stecken bleiben, hier meine Musterlösung:

${\frac {1+\beta }{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}=x\qquad |^{2}$

${\frac {(1+\beta )^{2}}{1-\beta ^{2}}}=x^{2}$

${\frac {(1+\beta )^{2}}{(1+\beta )(1-\beta )}}=x^{2}$

${\frac {1+\beta }{1+\beta }}\cdot {\frac {1+\beta }{1-\beta }}={\frac {1+\beta }{1-\beta }}=x^{2}\qquad |{\sqrt {}}$

${\sqrt {\frac {1+\beta }{1-\beta }}}=x$

Somit hat man den einen Term in den anderen überführt.

Summe, Produkt und Fakultät

Die Gaußsche Summenformel sollte wohl jedem bekannt sein:

$1+2+\dots +n={\frac {n\cdot (n+1)}{2}}={\frac {n^{2}+n}{2}}$

Angeblich entstand sie, als der kleine Carl Friedrich Gauß bei seinem Mathelehrer die ersten 101 natürlichen Zahlen addieren sollte (unter der Definition, dass die kleinste natürliche Zahl 0 ist, denn so schreibt es die DIN vor). Also alle Zahlen von 1 bis 100. Gauß war schnell fertig. Mit seiner Formel (die wohl jeder selbst herleiten können sollte) rechnete er:

${\frac {100\cdot 101}{2}}=50\cdot 101=5050$

Diese Formel ist gut, schön und nützlich, aber uns interessiert hier der erste Teil: $1+2+\dots +n$. Nehmen wir an, $n$ steht für 5, so würde es ausgeschrieben heißen: $1+2+3+4+5$. Das lässt sich kurz schreiben als:

$1+2+\dots +n=\sum _{i=1}^{n}i$

bzw. unter der Benutzung von Intervallen auch als $\sum _{i\in [1,n]}i$ oder $\sum _{1\leq i\leq n}i$. Üblich ist aber hier die erste Variante: $i$ durchläuft alle Werte von 1 bis $n$. Dabei setzen wir wir den Wert für $i$ in den Term danach ein (hier setzen wir also $i$ für $i$ ein). Natürlich geht es auch komplizierter. Die Eulersche Zahl wird wie folgt berechnet:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}$

Da wir das Spiel nicht bis unendlich treiben können, reicht es, für eine Näherung bis $n=15$ zu gehen. Aber aus selbigem Grund können wir $e$ auch nicht als Bruch (und demnach nicht als rationale Zahl) darstellen. Man erhält dann eine Zahl $e=2{,}71828\dots$.

Wichtige Regel:

$\sum _{n=a}^{b}(x\cdot n)=x\cdot \sum _{n=a}^{b}n$

$(10)$

Und falls irgendwo die obere Grenze kleiner als die untere Grenze ist, so ergibt die Summe 0.

Das gleiche geht natürlich auch für Produkte. Nur werden dann die Werte multipliziert. Man könnte zum Beispiel schreiben:

$1\cdot 2\cdot \dots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i$

Zum Beispiel kann man die Fakultät auf diese Weise darstellen:

$n!=1\cdot 2\cdot \dots \cdot n=\prod _{i=1}^{n}i$

$(11)$

Potenzen

Beim Potenzieren sollte man folgende Regeln beachten:

$x^{(1/a)}={\sqrt[{a}]{x}}$

$(12)$

$x^{a\cdot b}=\left(x^{a}\right)^{b}$

$(13)$

$x^{a+b}=x^{a}\cdot x^{b}$

$(14)$

Wurzel und Logarithmus

Hat man folgende Formel gegeben:

$a^{b}=c$

so gilt:

$a_{1}={\sqrt[{b}]{c}}$

$(15)$

und falls $b\ {\text{mod}}\ 2=0$ (gleichbedeutend mit $2|b$), so gilt auch

$a_{2}=-{\sqrt[{b}]{c}}$

Ebenso gilt:

$b=\log _{a}c$

$(16)$

Für $\log _{10}x$ schreibt man meistens einfach $\log x$, seltener auch $\lg x$. Ist die Basis 2, so verwendet man $\mathrm {lb} \ x$, ist sie die eulersche Zahl $e$, so ist es der logarithmus naturalis (der natürliche Logarithmus) $\ln x$.

Es gilt dabei:

$\log _{a}b={\frac {\log a}{\log b}}$

Und ebenso gilt:

$\log AB=\log A+\log B$

Rechtwinkliges Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck.

In einem rechtwinkligen Dreieck existieren bestimmte Relationen und Beziehungen, die zum Grundwissen eines Mathematikers, Physikers und eines jeden Naturwissenschaftlers gehören. Das bekannteste Beispiel dürfte der Satz des Pytagoras sein. Die Formel ist fast so berühmt wie $E=mc^{2}$, die ebenfalls jeder Naturwissenschaftler kennen sollte. Es gilt dabei:

• Der Winkel $\gamma$ sei 90° groß.
• Die Seite $c$, die dem Winkel $\gamma$ gegenüber liege, hieße Hypotenuse und ist aufgrund der Innenwinkelsumme $\alpha +\beta +\gamma =180^{\circ }$ die größte Seite.
• Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
• Wir betrachten einen Winkel $\alpha$. Die Kathete, die ihm gegenüber liegt, heißt Gegen-, die Seite, die ihm anliegt, Ankathete.

Der Satz des Pytagoras sagt nun aus:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

$(16)$

Daraus folgt

$c={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}.$

Damit lässt sich auch die Formel für die Länge der Raumdiagonale in einem $a\cdot b\cdot c$-Quader herleiten: $e={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}$.

Des Weiteren existieren die sog. trigonometrischen Funktionen:

• Der Sinus des Winkels $\alpha$ ($\sin \alpha$) gibt das Verhältnis $\sin \alpha ={\frac {\text{Gegenkathete}}{\text{Hypotenuse}}}$ an (siehe Abbildung).
• Der Kosinus des Winkels $\alpha$ ($\cos \alpha$) gibt das Verhältnis $\cos \alpha ={\frac {\text{Ankathete}}{\text{Hypotenuse}}}$ an.

Ist die Länge der Hypotenuse bekannt, so lassen sich die Katheten berechnen, indem das jeweilige Verhältnis (Kosinus oder Sinus) mit $c$ multipliziert wird:

• $b=c\cdot \cos \alpha$
• $a=c\cdot \sin \alpha$

Ist eines der Verhältnisse bekannt und soll der Winkel $\alpha$ bestimmt werden, so existieren die Pseudo-Umkehrfunktionen:

$\forall 0^{\circ }\leq \alpha \leq 360^{\circ }:\qquad \arcsin(\sin \alpha )=\alpha$

Also ist $\alpha =\arcsin \left({\frac {a}{c}}\right)=\arccos \left({\frac {b}{c}}\right)$.

Es gilt: $\sin \alpha =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n+1}}{(2n+1)!}}$ und $\cos \alpha =\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {\alpha ^{2n}}{(2n)!}}$.

Zu beachten ist, dass an der Stelle im Bogenmaß gerechnet wird. Sei $\alpha$ der Winkel im Bogenmaß und $\beta$ der Winkel im Gradmaß (1°, 2°, ...), so gilt:

• $\alpha ={\frac {\beta }{180}}\cdot \pi$
• $\beta ={\frac {\alpha }{\pi }}\cdot 180$

mit $\pi =3{,}14159265358979\dots$

Weiterhin gilt:

• $\tan \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}$ (Tangens)
• $\cot \alpha ={\frac {1}{\tan \alpha }}$ (Kotangens)
• $\csc \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}$ (Kosekans)
• $\sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}$ (Sekans)

Dazu existieren natürlich auch die passenden Umkehrfunktionen $\arctan \alpha ,\operatorname {arccot} \alpha ,\dots$.

Hinweis: Taschenrechner arbeiten meist mit den Bezeichnungen $\sin ^{-1}\alpha$, etc. für die Umkehrfunktionen.

Hinweis: Taschenrechner sind meist auf das Bogenmaß (RAD - en. radiants für Radianten) initialisiert. Du kannst es meist auf das Gradmaß (DEG - en. degrees für Grad) umstellen. Das Bogenmaß gibt dabei die Länge eines entsprechenden Kreisbogens mit Radius 1 an. 360° entsprechen also $2\pi$, wobei beim Bogenmaß i. d. R. keine Einheit geschrieben wird.

Funktionen

Funktionen sind zweifellos eines der wichtigsten Konzepte in der Mathematik und auch die Physik macht davon Gebrauch. Egal, ob dich das Thema interessiert, es aber in der Schule noch nicht behandelt wurde, oder ob du es wieder vergessen hast: Hier findest du auf jeden Fall noch einmal eine Kurzanleitung, wobei wir aber einen Großteil auslassen werden: die Kurvendiskussion. Sie ist für uns Physiker nicht sonderlich von Interesse.

Eine Funktion dient dazu, Zuordnungen zu beschreiben. Dabei hängt ein Wert (eine Variable, bzw. hier eine physikalische Größe) von meist einem, manchmal aber auch mehreren, anderen Werten ab. Die Werte, von denen es abhängt, nennen wir Argumente, die anderen Funktionswerte. Eine Funktion wird in der Regel mit $f$ benannt, kann aber prinzipiell jeden anderen Namen haben. Um mehrere Funktionen zu unterscheiden, ist es üblich, die Reihe einfach fortzuführen: $g,h,\dots$. In der Informatik werden zum Beispiel auch ganz andere Bezeichnungen gebraucht: $\#$ und $\chi$ beispielsweise.

Wir benennen dabei das Argument zunächst mit $x$ und den Funktionswert mit $y$. Wir schreiben:

$y=f(x)$

Wir geben den Wertebereich und den Definitionsbereich an: $x$ und $y$ können zunächst beliebige reelle Zahlen sein, $x$ wird $y$ zugeordnet:

$f:x\mapsto y;\quad x,y\in \mathbb {R}$

Nun wird beschrieben, wie sich $y$ aus $x$ berechnet:

$f(x)=x^{2}+2x+1$

ist ein klassisches Beispiel für eine sog. quadratische Funktion. Da allerdings der Funktionswert in diesem Beispiel immer größer oder gleich 0 ist, gilt für den Definitions- / Wertebereich (DB für die Argumente, WB für die Funktionswerte):

$f:x\mapsto y;\quad x,y\in \mathbb {R} ;\quad y\geq 0$

Graph der Funktion $f(x)=x^{2}+2x+1$

Man kann nun einen sog. Funktionsgraphen zeichnen, der auf der Abszisse (waagerecht) alle $x$-Werte abbildet und auf der Ordinate (senkrecht) alle $y$-Werte.

Nun kann man den Funktionswert $y$ für ein bestimmtes $x$ berechnen. Für die Funktion $y=f(x)=x^{2}+2x+1$ und das Argument $x=3$ schreiben wir:

$y=f(3)=3^{2}+2\cdot 3+1=9+6+1=16$

Das ist damit auch der Wert, den wir an die Stelle $f(3)$ im Funktionsgraph eintragen. Eine andere gebräuchliche Schreibweise ist zum Beispiel auch $f(3)=\left.x^{2}+2x+1\right|_{x=3}$.

Anders ist es, wenn der Funktionswert gegeben ist und das Argument gesucht ist, oder anders formuliert: Für welches $x$ gilt $f(x)=a$, wobei a ein konstanter Wert ist. Heißt also, an welcher Stelle ist $y=5$, wenn $a=5$. Dazu lösen wir eine Gleichung.

Beispiel 1: Für welches $x$ gilt: $f(x)=3x+1=3$?

Lösung: Wir notieren:

$3x+1=3\qquad |-1$

$3x=2\qquad |\cdot {\frac {1}{3}}$

$x={\frac {2}{3}}$

Beispiel 2: $f(x)=3x^{2}+2x+1=2$. Berechne alle $x$.

Lösung: Hier haben wir es mit einer quadratischen Gleichung zu tun. Wir wenden die Lösungsformel an:

falls $x^{2}+px+q=0$, so ist $x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-q}}$

Wir berechnen:

$3x^{2}+2x+1=2\qquad |\cdot {\frac {1}{3}}-{\frac {2}{3}}$

$x^{2}+{\frac {2}{3}}x-{\frac {1}{3}}=0$

$x_{1}=-{\frac {1}{3}}+{\sqrt {\left({\frac {1}{9}}\right)+{\frac {1}{3}}}}={\frac {1}{3}}$

$x_{2}=-{\frac {1}{3}}-{\sqrt {\left({\frac {1}{9}}\right)+{\frac {1}{3}}}}=-1$

Womit wir beide Argumente hätten.

Differentialrechnung

Differential- und Integral sollte man beides verstehen, sobald wir die Formeln für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung einführen. Wir haben dort zwei Formeln:

$v=at$

$s={\frac {1}{2}}at^{2}$

Scheinbar haben diese nichts miteinander zu tun. Mit Hilfe der Integralrechnung lässt sich aber die zweite aus der ersten ableiten. Und um die Integralrechnung zu verstehen, muss man die Differentialrechnung beherrschen.

Betrachten wir nun eine Funktion $s(t)$. Diese Funktion steigt an jeder Stelle um einen bestimmten Grad. Beispielsweise möchten wir wissen, wie sehr die Geschwindigkeit an einer bestimmten Stelle ist, wo wir nur die Strecke als Funktion $s(t)$ haben. Man ermittelt die Geschwindigkeit, indem man ermittelt, wie stark die Strecke steigt.

Sagen wir es einfacher: Wir wollen die Geschwindigkeit $v$ zur Zeit $t_{1}$ erfahren. Wir haben aber nur die Strecke $s$ in Abhängigkeit von der Zeit $t$ gegeben. Wir wählen nun die Strecke $s_{1}$ zur Zeit $t_{1}$ und $s_{2}$ zur Zeit $t_{2}$. Mit $\Delta s$ bezeichnen wir $s_{2}-s_{1}$ und mit $\Delta t$ bezeichnen wir $t_{2}-t_{1}$. Wir wählen die Zeiten so, dass $\Delta t$ möglichst klein ist. Die Geschwindigkeit ergibt sich zu

$v=\lim _{\Delta t\to 0}\left[{\frac {\Delta s}{\Delta t}}\right]$

Betrachten wir dabei wirklich $s(t)$ als Funktion von $t$, so können wir das Ganze auch als Ableitung schreiben:

$v={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}s(t)$

Die Ableitung gibt an, wie sehr eine Funktion an einer Stelle steigt.

Ich gehe davon aus, dass dem Leser Grenzwerte vertraut sind. Kurz gesagt: Im obigen Beispiel wird $\Delta t$ möglichst klein gewählt, für eine Näherung zum Beispiel $\Delta t=0{,}01$.

Dabei gibt das $\mathrm {d} t$ im Nenner an, dass die Abhängigkeit $t$ ist. Das ist wichtig, wenn man zum Beispiel schreibt $\mathrm {d} /\mathrm {d} x(x^{2})$.

Die Ableitungsfunktion $\mathrm {d} /\mathrm {d} xf(x)$ wird dabei kurz auch als $f'(x)$ geschrieben.

Spezielle Ableitungen

Beim Differenzieren geht man immer nach einem bestimmten Prinzip vor. Man muss nicht denken, einfach nur ableiten. Dabei gelten die folgenden Regeln. Anstelle von großem Formalismus werde ich eher Beispiele liefern, da das mehr Erfolg bringt.

Die Ableitung der Funktion f(x)=x+1

Der konstante Summand 1 stört uns nicht, er hat auf die Ableitung keinen Einfluss. Deshalb gilt schon einmal:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x+1)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x$

Nun wird für $ax$ immer $a$ in die Ableitung eingesetzt. Da $a$ hier den Wert 1 hat, ersetzen wir $x$ einfach durch 1:

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(x+1)=1$

Die Funktion $f(x)$ steigt also (pro Schrittweite 1) immer um 1 an.

Die Funktion f(x)=x²

Die Ableitung einer Funktion $x^{a}$ ergibt sich zu $a\cdot x^{a-1}$. Für $f(x)=x^{2}$ gilt also:

$f'(x)=2\cdot x^{1}=2x$

Funktion f(x) = 3x³

Für eine Funktion $f(x)=a\cdot g(x)$ gilt: $f'(x)=a\cdot g'(x)$. Das heißt für uns:

$f'(x)=3\cdot \left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}x^{3}\right)=3\cdot 3\cdot x^{2}=9x^{2}$

Weitere Funktionen

Die meisten Funktionen finden sich im Tafelwerk wieder. Diese Tabelle ist auswendig zu lernen! Ein paar wichtige Formalismen möchte ich aber dennoch hier einführen:

$f(x)=g(x)+h(x)\Longrightarrow f'(x)=g'(x)+h'(x)$

$f(x)=g(x)\cdot h(x)\Longrightarrow f'(x)=g'(x)h(x)+g(x)h'(x)$

$f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}\Longrightarrow f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{h^{2}}}$

Zum Beispiel ergibt sich die Ableitung der Funktion $f(x)=x^{3}+2x^{2}$ zu $f'(x)=3x^{2}+4x$.

Integralrechnung

Ich hatte sie ja bereits im letzten Abschnitt angekündigt: die Integralrechnung. Zum einen bezeichnen wir mit $\int f(x)\;\mathrm {d} x$ die Stammfunktion von $f(x)$, d. h. wir suchen eine Funktion $F(x)$ für die gilt $F'(x)=f(x)$. Zum Beispiel gilt:

$\int x^{2}\;\mathrm {d} x={\frac {1}{3}}x^{3}$

Versuche, die Ableitung zu bilden, und du stellst fest, dass es stimmt. Es sollte dir ein Leichtes sein, herauszufinden, woher der Faktor ${\frac {1}{3}}$ kommt.

Des Weiteren ist folgende Form gebräuchlich:

$\left[f(x)\right]_{a}^{b}=f(b)-f(a)$

Das Integral. Die Grenzen können sowohl rechts daneben als auch darüber und darunter geschrieben werden. Letzteres ist in Deutschland üblicher.

Analog dazu gehen wir auf die Eigentliche Bedeutung des Integralzeichens ein: die Fläche unter einer Funktion (siehe Abbildung). Die blau gekennzeichnete Fläche $A$ ergibt sich zu

$\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x$

Dabei gilt allgemein:

$\int _{a}^{b}f(x)\;\mathrm {d} x=F(b)-F(a)$

$(17)$

Wobei wir mit $F$ die Stammfunktion von $f$ bezeichnen.

Aufgabe: Suche dir Beispielfunktionen und bilde die Integrale. Dabei wirst du schnell ein System finden, um Integrale zu bilden. Allerdings gibt es keine übliche Vorgehensweise, die man einfach nur anwendet.

Nun können wir auch das Beispiel durchgehen:

$v(t)=at$

$s(t)=\int v(t)\;\mathrm {d} t$

Was ist nun $s(t)$? Zuerst einmal ist $a$ konstant. Wir suchen also die Stammfunktion von $f(t)=t$ und multiplizieren den Term mit $a$. Wir greifen auf die Regel $f'(x)=ax^{a-1}$ für $f(x)=x^{a}$ zurück. Die Ableitung von $f(x)=x^{2}$ ist beispielsweise $(2x)$. Wir dividieren durch 2 (bzw. multiplizieren mit ${\frac {1}{2}}$ aus ästhetischen Gründen) und erhalten:

$s(t)=\int at\;\mathrm {d} t={\frac {1}{2}}at^{2}$

wobei der Faktor $1/2$ vorgeholt wurde. Damit wäre die Formel nicht elementar. Zur Erklärung noch die Anwendung: $a$ ist die Beschleunigung, z. B. beim Fallenlassen eines Steins. Diese wäre auf der Erde $a=g=9{,}81\ \mathrm {m} /\mathrm {s} ^{2}$. Die erste Formel gibt die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit an. Mit der zweiten berechnen wir, wie weit der Stein nach einer bestimmten Zeit gefallen ist. Damit lässt sich dann auch berechnen, welche Zeit er für eine bestimmte Strecke braucht:

$t={\sqrt {\frac {2s}{a}}}$

Partielle Integration

Als letztes sei noch die partielle Integration erwähnt. Sie dient dazu, Produktintegrale zu bilden. Beispielsweise ist das Integral der Funktion $f(x)=x^{2}\sin x$ von $0$ bis $\pi$ gesucht. Dafür wenden wir an:

$\int _{a}^{b}f'(x)g(x)\;\mathrm {d} x=[f(x)g(x)]_{a}^{b}-\int _{a}^{b}f(x)g'(x)\mathrm {d} x$

Aufgabe: Löse das obige Beispiel.

Lösung: Wir notieren:

$\int _{0}^{\pi }x^{2}\sin x\;\mathrm {d} x=\left[x^{2}\cos x\right]_{0}^{\pi }+\int _{0}^{\pi }2x\cos x\;\mathrm {d} x$

$=\pi ^{2}+\int _{0}^{\pi }2x\cos x\;\mathrm {d} x$

$=\pi ^{2}+[2x\sin x]_{0}^{\pi }+\int _{0}^{\pi }2\sin x\;\mathrm {d} x$

$=\pi ^{2}-2-2$

$=\pi ^{2}-4$