Physikunterricht/ Mathematische Hintergründe

Mathematische Hintergründe Bearbeiten

Um Physik zu betreiben, ist eine Menge an mathematischem Hintergrundwissen von Nöten. Jeder sollte sie kennen: die Variablen. Ebenfalls gibt es Konstanten. In der Physik können wir sagen, dass jede physikalische Größe eine Variable ist, zum Beispiel die Länge eines Lineals, genauso wie aber beispielsweise das Spannung-Stromstärke-Verhältnis, genannt Widerstand. Dabei bestehen die meisten Größen aus einem Koeffizienten und einer Einheit:

 
 

Mit   bezeichnen wir hier die Größe, mit   den Koeffizienten und mit   die Einheit. In manchen Fällen aber können wir selber Variablen definieren, die keine Einheit haben, aber auch sonst trifft man häufig auf Variablen oder, viel mehr, auf Konstanten, die nur aus einer Zahl bestehen. Dies ist zum Beispiel der Fall, wenn wir ein Volumenverhältnis und ein Längenverhältnis definieren:

 
 

Für zwei Würfel gilt:

 

Formal ist eine Einheit als Faktor in einer Multiplikation anzusehen. Deshalb lässt sich als Einheit folgendes bestimmen:

 

Daraus folgt:

 
 

Denn gleiche Faktoren im Zähler und Nenner eines Bruches kürzen sich weg:

 
 

Wichtig zu wissen ist auch folgendes, da wir in der Physik sehr oft Größen miteinander multiplizieren oder dividieren, fast nie addieren oder subtrahieren, da letzteres nur mit Größen möglich ist, die sich auf die gleiche Einheit bringen lassen:

 
 

Daraus folgt:

 
 

Genauso ist die Kenntnis der folgenden Formeln wichtig:

Binomische Formeln Bearbeiten

 
 
 
 
 
 

Weiterhin lassen sich Formeln für größere Polynome herleiten. Für   zum Beispiel ist es recht umständlich, Binome der Art   aufzulösen (=ausmultiplizieren). Stattdessen greift man auf das Pascalsche Dreieck zurück:

 

Dabei fällt folgendes auf:

 

Die Zahlen entstehen immer, indem die Zahlen rechts und links darüber addiert werden. Man hat in Zeile 5 die sog. Koeffizienten stehen, die für uns wichtig sind:  . Nun lässt sich bequem schreiben:

 
 


 
 

Denn (zur Erinnerung): Alle Zahlen außer 0 ergeben „hoch 0“ 1. Formal lässt sich das übrigens so schreiben:

 

Schau die die Formeln in aller Ruhe an.

Statt des Pascalschen Dreiecks ist auch formal der sog. Binomische Lehrsatz von Bedeutung:

 

Übung zu den binomischen Formeln Bearbeiten

Das folgende Beispiel stammt aus dem Buch „Physik“ von Jay Orear: Zeige, dass  .

Ich empfehle, das Beispiel zuerst eigenständig zu versuchen. Solltest du stecken bleiben, hier meine Musterlösung:

 


 


 


 


 

Somit hat man den einen Term in den anderen überführt.

Summe, Produkt und Fakultät Bearbeiten

Die Gaußsche Summenformel sollte wohl jedem bekannt sein:

 

Angeblich entstand sie, als der kleine Carl Friedrich Gauß bei seinem Mathelehrer die ersten 101 natürlichen Zahlen addieren sollte (unter der Definition, dass die kleinste natürliche Zahl 0 ist, denn so schreibt es die DIN vor). Also alle Zahlen von 1 bis 100. Gauß war schnell fertig. Mit seiner Formel (die wohl jeder selbst herleiten können sollte) rechnete er:

 

Diese Formel ist gut, schön und nützlich, aber uns interessiert hier der erste Teil:  . Nehmen wir an,   steht für 5, so würde es ausgeschrieben heißen:  . Das lässt sich kurz schreiben als:

 

bzw. unter der Benutzung von Intervallen auch als   oder  . Üblich ist aber hier die erste Variante:   durchläuft alle Werte von 1 bis  . Dabei setzen wir wir den Wert für   in den Term danach ein (hier setzen wir also   für   ein). Natürlich geht es auch komplizierter. Die Eulersche Zahl wird wie folgt berechnet:

 

Da wir das Spiel nicht bis unendlich treiben können, reicht es, für eine Näherung bis   zu gehen. Aber aus selbigem Grund können wir   auch nicht als Bruch (und demnach nicht als rationale Zahl) darstellen. Man erhält dann eine Zahl  .

Wichtige Regel:

 
 

Und falls irgendwo die obere Grenze kleiner als die untere Grenze ist, so ergibt die Summe 0.

Das gleiche geht natürlich auch für Produkte. Nur werden dann die Werte multipliziert. Man könnte zum Beispiel schreiben:

 

Zum Beispiel kann man die Fakultät auf diese Weise darstellen:

 
 

Potenzen Bearbeiten

Beim Potenzieren sollte man folgende Regeln beachten:

 
 
 
 
 
 

Wurzel und Logarithmus Bearbeiten

Hat man folgende Formel gegeben:

 

so gilt:

 
 

und falls   (gleichbedeutend mit  ), so gilt auch

 
 

Ebenso gilt:

 
 

Für   schreibt man meistens einfach  , seltener auch  . Ist die Basis 2, so verwendet man  , ist sie die eulersche Zahl  , so ist es der logarithmus naturalis (der natürliche Logarithmus)  .

Es gilt dabei:

 

Und ebenso gilt:

 


Rechtwinkliges Dreieck Bearbeiten

 
Ein rechtwinkliges Dreieck.

In einem rechtwinkligen Dreieck existieren bestimmte Relationen und Beziehungen, die zum Grundwissen eines Mathematikers, Physikers und eines jeden Naturwissenschaftlers gehören. Das bekannteste Beispiel dürfte der Satz des Pytagoras sein. Die Formel ist fast so berühmt wie  , die ebenfalls jeder Naturwissenschaftler kennen sollte. Es gilt dabei:

  • Der Winkel   sei 90° groß.
  • Die Seite  , die dem Winkel   gegenüber liege, hieße Hypotenuse und ist aufgrund der Innenwinkelsumme   die größte Seite.
  • Die beiden anderen Seiten heißen Katheten.
  • Wir betrachten einen Winkel  . Die Kathete, die ihm gegenüber liegt, heißt Gegen-, die Seite, die ihm anliegt, Ankathete.

Der Satz des Pytagoras sagt nun aus:


 
 

Daraus folgt

 

Damit lässt sich auch die Formel für die Länge der Raumdiagonale in einem  -Quader herleiten:  .

Des Weiteren existieren die sog. trigonometrischen Funktionen:

  • Der Sinus des Winkels   ( ) gibt das Verhältnis   an (siehe Abbildung).
  • Der Kosinus des Winkels   ( ) gibt das Verhältnis   an.

Ist die Länge der Hypotenuse bekannt, so lassen sich die Katheten berechnen, indem das jeweilige Verhältnis (Kosinus oder Sinus) mit   multipliziert wird:

  •  
  •  

Ist eines der Verhältnisse bekannt und soll der Winkel   bestimmt werden, so existieren die Pseudo-Umkehrfunktionen:

 

Also ist  .

Es gilt:   und  .

Zu beachten ist, dass an der Stelle im Bogenmaß gerechnet wird. Sei   der Winkel im Bogenmaß und   der Winkel im Gradmaß (1°, 2°, ...), so gilt:

  •  
  •  

mit  


Weiterhin gilt:

  •   (Tangens)
  •   (Kotangens)
  •   (Kosekans)
  •   (Sekans)

Dazu existieren natürlich auch die passenden Umkehrfunktionen  .

Hinweis: Taschenrechner arbeiten meist mit den Bezeichnungen  , etc. für die Umkehrfunktionen.

Hinweis: Taschenrechner sind meist auf das Bogenmaß (RAD - en. radiants für Radianten) initialisiert. Du kannst es meist auf das Gradmaß (DEG - en. degrees für Grad) umstellen. Das Bogenmaß gibt dabei die Länge eines entsprechenden Kreisbogens mit Radius 1 an. 360° entsprechen also  , wobei beim Bogenmaß i. d. R. keine Einheit geschrieben wird.

Funktionen Bearbeiten

Funktionen sind zweifellos eines der wichtigsten Konzepte in der Mathematik und auch die Physik macht davon Gebrauch. Egal, ob dich das Thema interessiert, es aber in der Schule noch nicht behandelt wurde, oder ob du es wieder vergessen hast: Hier findest du auf jeden Fall noch einmal eine Kurzanleitung, wobei wir aber einen Großteil auslassen werden: die Kurvendiskussion. Sie ist für uns Physiker nicht sonderlich von Interesse.

Eine Funktion dient dazu, Zuordnungen zu beschreiben. Dabei hängt ein Wert (eine Variable, bzw. hier eine physikalische Größe) von meist einem, manchmal aber auch mehreren, anderen Werten ab. Die Werte, von denen es abhängt, nennen wir Argumente, die anderen Funktionswerte. Eine Funktion wird in der Regel mit   benannt, kann aber prinzipiell jeden anderen Namen haben. Um mehrere Funktionen zu unterscheiden, ist es üblich, die Reihe einfach fortzuführen:  . In der Informatik werden zum Beispiel auch ganz andere Bezeichnungen gebraucht:   und   beispielsweise.

Wir benennen dabei das Argument zunächst mit   und den Funktionswert mit  . Wir schreiben:

 

Wir geben den Wertebereich und den Definitionsbereich an:   und   können zunächst beliebige reelle Zahlen sein,   wird   zugeordnet:

 

Nun wird beschrieben, wie sich   aus   berechnet:

 

ist ein klassisches Beispiel für eine sog. quadratische Funktion. Da allerdings der Funktionswert in diesem Beispiel immer größer oder gleich 0 ist, gilt für den Definitions- / Wertebereich (DB für die Argumente, WB für die Funktionswerte):

 
 
Graph der Funktion  

Man kann nun einen sog. Funktionsgraphen zeichnen, der auf der Abszisse (waagerecht) alle  -Werte abbildet und auf der Ordinate (senkrecht) alle  -Werte.

Nun kann man den Funktionswert   für ein bestimmtes   berechnen. Für die Funktion   und das Argument   schreiben wir:

 

Das ist damit auch der Wert, den wir an die Stelle   im Funktionsgraph eintragen. Eine andere gebräuchliche Schreibweise ist zum Beispiel auch  .

Anders ist es, wenn der Funktionswert gegeben ist und das Argument gesucht ist, oder anders formuliert: Für welches   gilt  , wobei a ein konstanter Wert ist. Heißt also, an welcher Stelle ist  , wenn  . Dazu lösen wir eine Gleichung.

Beispiel 1: Für welches   gilt:  ?

Lösung: Wir notieren:

 


 


 

Beispiel 2:  . Berechne alle  .

Lösung: Hier haben wir es mit einer quadratischen Gleichung zu tun. Wir wenden die Lösungsformel an:

falls  , so ist  

Wir berechnen:

 

 

 

 

Womit wir beide Argumente hätten.

Differentialrechnung Bearbeiten

Differential- und Integral sollte man beides verstehen, sobald wir die Formeln für die gleichmäßig beschleunigte Bewegung einführen. Wir haben dort zwei Formeln:

 

 

Scheinbar haben diese nichts miteinander zu tun. Mit Hilfe der Integralrechnung lässt sich aber die zweite aus der ersten ableiten. Und um die Integralrechnung zu verstehen, muss man die Differentialrechnung beherrschen.

Betrachten wir nun eine Funktion  . Diese Funktion steigt an jeder Stelle um einen bestimmten Grad. Beispielsweise möchten wir wissen, wie sehr die Geschwindigkeit an einer bestimmten Stelle ist, wo wir nur die Strecke als Funktion   haben. Man ermittelt die Geschwindigkeit, indem man ermittelt, wie stark die Strecke steigt.

Sagen wir es einfacher: Wir wollen die Geschwindigkeit   zur Zeit   erfahren. Wir haben aber nur die Strecke   in Abhängigkeit von der Zeit   gegeben. Wir wählen nun die Strecke   zur Zeit   und   zur Zeit  . Mit   bezeichnen wir   und mit   bezeichnen wir  . Wir wählen die Zeiten so, dass   möglichst klein ist. Die Geschwindigkeit ergibt sich zu

 

Betrachten wir dabei wirklich   als Funktion von  , so können wir das Ganze auch als Ableitung schreiben:

 
Die Ableitung gibt an, wie sehr eine Funktion an einer Stelle steigt.

Ich gehe davon aus, dass dem Leser Grenzwerte vertraut sind. Kurz gesagt: Im obigen Beispiel wird   möglichst klein gewählt, für eine Näherung zum Beispiel  .

Dabei gibt das   im Nenner an, dass die Abhängigkeit   ist. Das ist wichtig, wenn man zum Beispiel schreibt  .

Die Ableitungsfunktion   wird dabei kurz auch als   geschrieben.

Spezielle Ableitungen Bearbeiten

Beim Differenzieren geht man immer nach einem bestimmten Prinzip vor. Man muss nicht denken, einfach nur ableiten. Dabei gelten die folgenden Regeln. Anstelle von großem Formalismus werde ich eher Beispiele liefern, da das mehr Erfolg bringt.

Die Ableitung der Funktion f(x)=x+1 Bearbeiten

Der konstante Summand 1 stört uns nicht, er hat auf die Ableitung keinen Einfluss. Deshalb gilt schon einmal:

 

Nun wird für   immer   in die Ableitung eingesetzt. Da   hier den Wert 1 hat, ersetzen wir   einfach durch 1:

 

Die Funktion   steigt also (pro Schrittweite 1) immer um 1 an.

Die Funktion f(x)=x² Bearbeiten

Die Ableitung einer Funktion   ergibt sich zu  . Für   gilt also:

 
Funktion f(x) = 3x³ Bearbeiten

Für eine Funktion   gilt:  . Das heißt für uns:

 
Weitere Funktionen Bearbeiten

Die meisten Funktionen finden sich im Tafelwerk wieder. Diese Tabelle ist auswendig zu lernen! Ein paar wichtige Formalismen möchte ich aber dennoch hier einführen:

 

 

 

Zum Beispiel ergibt sich die Ableitung der Funktion   zu  .

Integralrechnung Bearbeiten

Ich hatte sie ja bereits im letzten Abschnitt angekündigt: die Integralrechnung. Zum einen bezeichnen wir mit   die Stammfunktion von  , d. h. wir suchen eine Funktion   für die gilt  . Zum Beispiel gilt:

 

Versuche, die Ableitung zu bilden, und du stellst fest, dass es stimmt. Es sollte dir ein Leichtes sein, herauszufinden, woher der Faktor   kommt.

Des Weiteren ist folgende Form gebräuchlich:

 
 
Das Integral. Die Grenzen können sowohl rechts daneben als auch darüber und darunter geschrieben werden. Letzteres ist in Deutschland üblicher.

Analog dazu gehen wir auf die Eigentliche Bedeutung des Integralzeichens ein: die Fläche unter einer Funktion (siehe Abbildung). Die blau gekennzeichnete Fläche   ergibt sich zu

 

Dabei gilt allgemein:


 
 

Wobei wir mit   die Stammfunktion von   bezeichnen.

Aufgabe: Suche dir Beispielfunktionen und bilde die Integrale. Dabei wirst du schnell ein System finden, um Integrale zu bilden. Allerdings gibt es keine übliche Vorgehensweise, die man einfach nur anwendet.

Nun können wir auch das Beispiel durchgehen:

 

 

Was ist nun  ? Zuerst einmal ist   konstant. Wir suchen also die Stammfunktion von   und multiplizieren den Term mit  . Wir greifen auf die Regel   für   zurück. Die Ableitung von   ist beispielsweise  . Wir dividieren durch 2 (bzw. multiplizieren mit   aus ästhetischen Gründen) und erhalten:

 

wobei der Faktor   vorgeholt wurde. Damit wäre die Formel nicht elementar. Zur Erklärung noch die Anwendung:   ist die Beschleunigung, z. B. beim Fallenlassen eines Steins. Diese wäre auf der Erde  . Die erste Formel gibt die Geschwindigkeit nach einer bestimmten Zeit an. Mit der zweiten berechnen wir, wie weit der Stein nach einer bestimmten Zeit gefallen ist. Damit lässt sich dann auch berechnen, welche Zeit er für eine bestimmte Strecke braucht:

 

Partielle Integration Bearbeiten

Als letztes sei noch die partielle Integration erwähnt. Sie dient dazu, Produktintegrale zu bilden. Beispielsweise ist das Integral der Funktion   von   bis   gesucht. Dafür wenden wir an:

 

Aufgabe: Löse das obige Beispiel.

Lösung: Wir notieren: