Physik in unserem Leben/ Hebelgesetz und Hydraulische Systeme

Hebelgesetz

Du hast wahrscheinlich schon einmal mit einer Wippe gespielt. Wenn sich eine Person dem Stützpunkt annähert, dann ist es für die andere Person einfacher, diese Person zu heben. Wenn das eine Kind schwerer als das andere ist, dann muss es näher zum Stützpunkt sitzen, damit das Spiel funktioniert. Das ist das Prinzip des Hebelgesetzes. In den Worten der Physik: Lass uns F₁ die Gewichtskraft des einen Kindes nennen und s₁ seinen Abstand vom Stützpunkt. Sei F₂ die Gewichtskraft des anderen Kindes und s₂ sein Abstand vom Stützpunkt. Damit es einen Gleichgewicht gibt, muss gelten:

$F_{\rm {1}}\cdot s_{\rm {1}}=F_{\rm {2}}\cdot s_{\rm {2}}$

Dabei wird davon ausgegangen, dass die Massenverteilung der Wippe selbst keine Rolle spielt, sie also ohne die zusätzlichen Gewichte im Gleichgewicht ist, etwa weil beide Enden gleichlang sind.

Das Produkt $F\cdot s$ nennt man in Physik Drehmoment.

Wir wollen untersuchen, ob es möglich ist, ein Auto mit dem kleinen Finger zu heben. Ein Auto habe eine Masse von 0,5 T (Tonne=1000 kg). Mit deinem kleinen Finger kannst du schätzungsweise eine Kraft von 20 N (entspricht 2 kg) ausüben. Wenn also der Schwerpunkt des Autos (wo die Kraft ausgeübt wird) 0,5 m weit von der Mitte der Wippe ist, wie weit musst du entfernt sein, um es mit dem Finger zu heben? Hier musst du erst auf die Einheiten achten. Eine Tonne sind 1000 kg, also 0,5 Tonnen sind 500 kg. Die Gewichtskraft eines Körpers mit 500 kg Masse ist F₁ = m*10m/s²= 500 kg 10m/s²=5000 N. s ₁sei 0,5 m. Zweitens musst du die Formel umformen. Gefragt wird dein Abstand s₂ vom Stützpunkt, die Kraft F₂, die du ausübst, ist 30N. Um s₂ also umformen:

$F_{\rm {1}}\cdot s_{\rm {1}}=F_{\rm {2}}\cdot s_{\rm {2}}$ | : F₂

${\frac {F_{\rm {1}}\cdot s_{\rm {1}}}{F_{\rm {2}}}}=s_{\rm {2}}$

s₂ = 125 m

Du brauchst also ein Brett, das mindestens 125,5 (!) Meter lang ist. 0,5 m vom Stützpunkt ist der Schwerpunkt des Autos, 125 m vom Stützpunkt (auf der anderen Seite) wird deine Kraft mit dem kleinen Finger ausgeübt.

Funktioniert das aber wirklich? Was passiert in der Situation mit dem Brett? Das Brett hat selbst eine Masse, auf welche die Gewichtskraft wirkt. Damit obige Voraussetzung gilt, dass die Masse des Brettes ohne Auto und Finger so verteilt ist, dass die Wippe im Gleichgewicht ist, kann etwa ein Brett der Länge 250 Meter verwendet werden, mittig auf dem Stützpunkt aufgesetzt.

Wird sich das Brett nicht auch deutlich durchbiegen? Obige Formel geht allerdings von einem geraden Brett aus. Für krumme Bretter müßte die Formel modifiziert werden. Verwendet man hingegen stabileres Material, bei welchem das Durchbiegen keine Rolle spielt, wie etwa einen massiven Stahlträger, so ist die Gewichtskraft für eine Wippe von 250 m bereits gewaltig. Vermutlich wird sich also auch der Stahlträger unter dem Fingerdruck eher leicht verbiegen, statt das Auto anzuheben.

Wo liegt jetzt also das Problem? Es liegt nicht im Hebelgesetz selbst, sondern in den Materialeigenschaften des Brettes. Sind große Kräfte im Spiel, gibt es irgendwann kein Material mehr, bei dem die Verformung klein bleibt gegenüber der Wirkung des Drehmomentes, dann ist das einfache Hebelgesetz in der Form nicht mehr anwendbar. Das Hebelgesetz geht von einem starren Hebel aus, verbiegt sich dieser aber, so kann die Formel so einfach auch nicht mehr angewendet werden. Ist die Verteilung der Massen des Brettes links und rechts vom Stützpunkt nicht gleich, muss hingegen wieder die Formel so modifiziert werden, dass diese Verteilung berücksichtigt wird.

Die beschränkte Gültigkeit solch einfacher Formeln ist typisch für ein einfaches physikalisches Modell. Weil nicht alle Parameter berücksichtigt werden, ist immer zu prüfen, ob es in einer gegebenen Situation gerechtfertigt ist, andere Effekte zu vernachlässigen und das Modell anzuwenden. Bei für das typische Gewicht von Kindern ausgelegten Wippen stellt das Hebelgesetz sicher eine gute Beschreibung dar. Kommen hingegen nach einfacher Rechnung Hebel von monumentalen Ausmaßen heraus, so ist es angebracht, darüber nachzudenken, was sonst noch für Effekte auftreten können, die mit dem einfachen Hebelgesetz gar nicht berücksichtigt sind.

Hydraulische Systeme

Hydraulische Presse

Ein zum Hebelgesetz entsprechendes (aber nicht das gleiche) Gesetz gilt auch bei Röhren, die zwar miteinander kommunizieren, ihre Oberfläche aber nicht frei (wie beim Prinzip der kommunizierende Röhre) ist. Im Absatz über Druck haben wir gesehen, dass (Definition der Druck)

$P={\frac {F}{A}}$

wobei P der Druck (Englisch: Pressure), F die Kraft ( Englisch: Force) und A die Fläche (Englisch: Area). Durch Umformen bekommt man:

$F=P\cdot A$

Wenn also der Druck überall der gleiche ist, dann ist die Kraft zur Fläche direkt proportional, das heißt je größer die Fläche, desto größer die Kraft. Ein Beispiel ist das Tauchen ins Wasser. Du bist wahrscheinlich schon mal ins Wasser gesprungen. Wenn du es jetzt nun mit den Beinen oder mit dem Kopf tust, dann ist die auf dich ausgeübte Kraft niedriger als wenn du (wahrscheinlich aus Versehen) mit dem ganzen Bauch oder Rücken reinfällst. Der zweite Fall ist so gar ziemlich schmerzhaft! Beim Springen mit dem Kopf kannst du hingegen ziemlich tief ins Wasser gelangen.

Wenn es einen Unterschied im Druck zwischen zwei kommunizierenden Stellen einer Flüssigkeit gibt, dann fließt schon die Flüssigkeit von der Stelle mit höherem Druck zur Stelle mit niedrigerem Druck (so arbeitet zum Beispiel unser Kreislaufsystem). Das heißt, dass im Gleichgewicht der Druck überall der gleiche ist. Schau das Bild. An der Stelle 1 ist die Oberfläche klein, am 2 ist sie groß. Wenn ich also bei A eine kleine Kraft ausübe, bekomme ich bei B eine größere Kraft:

$P={\frac {F_{\rm {1}}}{A_{\rm {1}}}}={\frac {F_{\rm {2}}}{A_{\rm {2}}}}$ (weil der Druck überall gleich ist) also

$F_{\rm {2}}={\frac {F_{\rm {1}}\cdot A_{\rm {2}}}{A_{\rm {1}}}}=$ (die zwei rechte Seiten benutzen und nach F2 umformen) und weil A₂ >A₁ heißt es, dass auch F₂>F₁ ist (wenn zum Beispiel A₂=2A₁ ist, dann ist auch F₂=2F₁)

Wenn zum Beispiel A₃=100A₂ ist, dann ist auch F₃=100F₂. Ich kann also in diesem Fall an der Stelle 2 eine Kraft von 200 N (entspricht 20 kg) ausüben und so an der Stelle 3 eine Kraft von 20000 N haben (entspricht 2000 kg!). Was ist aber hier die Ursache? Beim Hebelgesetz haben wir gesehen, dass die Kraft dann kleiner ist, wenn der Abstand größer ist. Also das Sparen an Kraft hieß in diesem Fall viel mehr Abstand. Ähnlich ist es auch hier. Wenn ich im dünnen Rohr das Wasser drücke, ist das gesamte Volumen, bis ich den Boden erreiche, eher klein, besonders im Vergleich zum großen Rohr. Es kann also sein, dass ich schon 100 cm ins kleinen Rohr gedrückt habe, doch hebt sich das große Rohr nur 1 cm! Das Sparen in Kraft heißt also wieder viel mehr Abstand. Um die Oberfläche im großen Rohr doch höher heben zu können, benutze ich ein Pumpen-ähnliches System, wie im Bild.

Die Klappen (Ventile) sind so konstruiert, dass Wasser nur vom Wassertank (Vorratsbehälter) zum Rohr 2 (Pumpkolben) und vom Rohr 2 zum Rohr 3 (Presskolben) fließen kann. Ich drücke also das Wasser im Rohr 2 und es fließt, wegen der Konstruktion der Klappen, ins Rohr 3. Wieder wegen der Konstruktion, wenn ich die Pumpe nach oben ziehe, wird Wasser vom Wassertank (1) zum Rohr 2 fließen. Dieses Wasser kann ich jetzt wieder ins Rohr 2 drücken und so weiter.  

Frage

Wie weit vom Stützpunkt muss du bei einer Wippe sitzen, um mit deinem Gewicht (schätzungsweise 30 kg) das 0,6 T schweres Auto zu heben, wenn es wieder 0,5 m weit vom Stützpunkt ist?