Physik in unserem Leben/ Grundkenntnisse

Begriffe und mathematische Gesetze in den vier Grundrechenarten

• Beispiel einer Addition:

$1+2=3$

(Summand + Summand = Summe)

• Beispiel einer Subtraktion:

$5-1=4$

(Minuend − Subtrahend = Differenz)

• Beispiel einer Multiplikation:

$3\cdot 5=15$

(Faktor • Faktor = Produkt)

• Beispiel einer Division:

$12:3=4$

(Dividend : Divisor = Quotient)

• Ein Bruch entspricht einer Division:

${\frac {12}{3}}=4$

(Zähler / Nenner = Quotient)

Die Operatorrangfolge ist so, dass Multiplikationen und Divisionen vor Additionen und Subtraktionen ausgeführt werden:

1 + 2 • 5 = 11

1 + 2 • 5 ≠ 15

Das Kommutativgesetz (Vertauschungsgesetz) gilt für die Addition und die Multiplikation. Alle Argumente einer Operation können vertauscht werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert, d.h. die Reihenfolge der Summanden oder Faktoren hat keinen Einfluss:

1 + 2 = 2 + 1

3 • 5 = 5 • 3

5 − 1 ≠ 1 − 5

12 : 3 ≠ 3 : 12

Das Assoziativgesetz (Verknüpfungsgesetz) gilt für die Addition und die Multiplikation. Die Reihenfolge der Ausführung kann geändert werden, ohne dass sich am Ergebnis etwas ändert, d.h. es ist unerheblich, in welcher Reihenfolge die Teilsummen oder Teilprodukte gebildet werden:

(1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3)

(3 • 5) • 2 = 3 • (5 • 2)

(5 − 1) − 1 ≠ 5 − (1 − 1)

(12 : 3) : 3 ≠ 12 : (3 : 3)

Das Distributivgesetz (Verteilungsgesetz) gilt für die Addition und die Multiplikation. Durch Ausmultiplizieren kann ein Produkt in eine Summe umgewandelt werden und umgekehrt durch Ausklammern eine Summe in ein Produkt.

6 • (10 + 5) = (6 • 10) + (6 • 5) = 90

(6 • 10) + (6 • 5) = 6 • (10 + 5) = 90

Das Dividieren durch null ist nicht möglich.

Potenzen und Wurzeln

Das Potenzieren ist eine abkürzende Schreibweise für eine wiederholte mathematische Rechenoperation. Wie beim Multiplizieren ein Summand wiederholt addiert wird, so wird beim Potenzieren ein Faktor wiederholt multipliziert:

• 2 • 5 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 10
• 2⁵ = 2 • 2 • 2 • 2 • 2 = 32

(Basis^Exponent = Potenz)

Das Radizieren ist die Bestimmung der Basis einer Potenz

• $x^{2}\,=9$

$x={\sqrt[{2\,}]{9}}=3$

(${\sqrt[{Wurzelexponent\,}]{Radikand}}$ = Wurzel)

• $x^{5}\,=32$

$x={\sqrt[{5\,}]{32}}=2$

Das Radizieren ist eine Umkehrung des Potenzierens. Bei einem Wurzelexponenten von 2 spricht man vom Ziehen der Quadratwurzel, bei einem Wurzelexponenten von 3 vom Ziehen der Kubikwurzel:

$x={\sqrt[{2\,}]{100}}=10$

$x={\sqrt[{3\,}]{1000}}=10$

Das Radizieren von negativen Zahlen ergibt keine Lösung, die im Bereich der reellen Zahlen liegt.

Beim Potenzieren müssen Exponenten nicht immer natürliche Zahlen (1, 2, 3, ...) sein. Potenzen sind auch definiert, wenn der Exponent null, negativ oder keine ganze Zahl ist:

$2^{0}\,=1$

Die nullte Potenz jeder Zahl ist eins.

$2^{-5}\,=1:2^{5}\,$

$32\cdot 2^{-5}\,=32:2^{5}\,$

Das Potenzieren mit einem negativen Exponenten entspricht dem Kehrwert der Potenz mit dem positiven Wert desselben Exponenten.

$32^{1/5}={\sqrt[{5\,}]{32}}=2$

$32^{2/5}={\sqrt[{5\,}]{32\cdot 32}}={\sqrt[{5\,}]{32}}\cdot {\sqrt[{5\,}]{32}}=4$

Das Potenzieren mit einem Bruch entspricht dem Potenzieren mit dem Zähler des Bruchs und anschliessendem Radizieren mit dem Nenner des Bruchs (oder umgekehrt).

In der Operatorrangfolge werden das Potenzieren und Radizieren noch vor dem Multiplizieren und Dividieren ausgeführt:

1 + 2 • 3² = 19

Logarithmen

Der Logarithmus ist wie das Radizieren eine Umkehroperation des Potenzierens.

Als Zehnerlogarithmus („zehn hoch wieviel?“) einer Zahl bezeichnet man den Wert des Exponenten, wenn die Zahl als Potenz zur Basis 10 dargestellt wird.

log₁₀ 1000 = 3

(log_Basis Argument = Logarithmus)

Allgemeiner ist der Logarithmus einer Zahl zur Basis b der Wert des Exponenten, wenn diese Zahl als Potenz zur Basis b dargestellt wird.

2⁴ = 16

log₂ 16 = 4

In der Elektronik sind Logarithmen bei der Einheit Dezibel wichtig. Um einen Wert in Dezibel zu erhalten, werden die Verstärkungs- oder Dämpfungsfaktoren hintereinandergeschalteter Baugruppen zur Basis 10 logarithmiert. Der Gesamtfaktor kann dann durch einfache Addition der Dezibel-Werte ermittelt werden (log x•y = log x + log y). Nach demselben Prinzip kann man mit Rechenschieberskalen multiplizieren und dividieren.

Zahlensysteme

In der Digitaltechnik werden zur Darstellung von Zahlen anstatt des Dezimalsystems, mit den Ziffern 0 bis 9, das Binärsystem oder das Hexadezimalsystem verwendet. Anstatt zehn Symbolen verwendet das Binärsystem zwei Symbole (0 und 1) und das Hexadezimalsystem 16 Symbole (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E und F).

Darstellung der Zahl 31:

• Dezimalsystem: 31 = 3•10¹ + 1•10⁰
• binär: (11111)₂ = 1•2⁴ + 1•2³ + 1•2² + 1•2¹ + 1•2⁰
• hexadezimal: (1F)₁₆ = 1•16¹ + 15•16⁰

Bei geographischen Koordinaten kann das Sexagesimalsystem mit 60 Werten verwendet werden, in dem ein Grad 60 Winkelminuten und eine Minute 60 Winkelsekunden haben. Dasselbe gilt für die Zeitmessung, in der eine Stunde 60 Minuten und eine Minute 60 Sekunden haben.