Physik des Schlagens/ Peitschenknall

Einfaches Modell

Ein stark vereinfachtes Modell einer Peitsche ist in der folgenden Abbildung gezeigt:

Ein einfaches Modell des Schlagens

Die Peitsche soll am linken Ende der Strecke a festgehalten sein. Der Teil der Peitsche bei b soll sich mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegen. Die Biegung zwischen a und b soll vernachlässigbar klein sein. Durch die Bewegung wird b immer kleiner und a immer größer. Die Biegung wandert also immer mehr nach rechts. In Formeln lässt sich das System leicht beschreiben. Für die Energie ergibt sich:

$E={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {1}{2}}\mu bv^{2}$

Eine weitere Konstante ist die Gesamtlänge $l$ der Peitsche

$l=a+b$

wobei $\mu$ die Masse ist, die eine Einheitslänge der Peitsche wiegt. Ferner gilt für die zeitliche Änderung von a:

${\frac {\mathrm {d} b}{\mathrm {d} t}}=-v=-{\sqrt {\frac {2E}{\mu b}}}$

Dividiert man die Gleichung durch die rechte Seite, multipliziert sie mit $\mathrm {d} t$ und integriert, so hat man:

$t_{0}-t=\int _{0}^{b_{0}}{\sqrt {\frac {\mu b}{2E}}}\mathrm {d} b={\frac {2}{3}}b_{0}^{\frac {3}{2}}{\sqrt {\frac {\mu }{2E}}}$

Somit ergibt sich für die Zeitabhängigkeit der Strecke $b$:

$b(t)={\sqrt[{3}]{\frac {9E}{2\mu }}}\left({\frac {3}{2}}\right)^{\frac {2}{3}}(t_{0}-t)^{\frac {2}{3}}$

und für deren erste Ableitung:

$v=-{\dot {b}}={\sqrt[{3}]{\frac {9E}{\mu 2}}}{\frac {1}{\sqrt[{3}]{t_{0}-t}}}$

Man sieht, dass die Geschwindigkeit gegen unendlich strebt. Die Peitsche wird also sehr schnell, daher kommt es dazu, dass die Luft in Schwingung versetzt wird. Der Knall ist ein Überschallknall, wie er auch entsteht, wenn ein Flugzeug die Schallmauer durchbricht.

Schräges Auftreffen

Oft trifft die Peitsche unter einem Winkel auf eine ebene Oberfläche auf. Die Peitsche liegt dann entlang der Strecke $a$ unmittelbar auf dieser Oberfläche auf. Die Strecke $b$ schließt jedoch mit der Strecke $a$ den Winkel $\alpha$ ein. Ferner soll die Anfangsgeschwindigkeit nun senkrecht auf b stehen. Die Gesamtlänge des Seils $l$ stellt weiterhin eine Erhaltungsgröße des Systems dar. Die Energie des Systems ist jedoch nicht mehr erhalten, da es zu einem inelastischen Stoß zwischen der Peitsche und der Oberfläche kommt.