Physik Oberstufe/ Schwingungen und Wellen/ Interferenzphänomene

Das Huygenssche Prinzip

Hinter einer kleinen, kreisrunden Öffnung („Pinhole“) breitet sich eine Kugelwelle aus.

Hinter einem Spalt breitet sich eine Zylinderwelle aus.

Erinnerung:

• Kreiswelle, Wellenfronten bilden Kreise. In 3-D: Kugelwelle, Wellenfronten bilden Kugelschalen. Kreis- und Kugelwellen werden auch als Elementarwellen bezeichnet.
• Ebene Wellen: Wellen sind Geraden bzw. Ebenen. Ein kleiner Ausschnitt einer Kreiswelle kann häufig als ebene Welle betrachtet werden.

Eine ebene Welle trifft auf einen Spalt. Hinter dem Spalt breitet sich eine Elementarwelle aus.

Experiment: Eine ebene Wasserwelle wird in der Wellenwanne auf einen Spalt geschickt. Beobachtung: Hinter dem Spalt breitet sich eine Kreiswelle, d.h. eine Elementarwelle aus.

Huygenssches Prinzip: Jeder Punkt einer Welle kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle betrachtet werden. Huygensches Prinzip Die Elementarwellen, die von einer Wellenfront der ebenen Welle ausgehen, überlagern sich wieder zu einer ebenen Welle. Jede Wellenfront kann als Einhüllende von Elementarwellen aufgefasst werden.

Experiment: Eine Mikrowelle strahlt am Empfänger vorbei. Platziert man einen Spalt vor den Sender, so misst man an der selben Stelle ein Signal. Erklärung: Hinter dem Spalt breitet sich eine Kreiswelle aus, die auch in Richtung des Empfängers strahlt.

Interferenzexperimente

Der Doppelspalt

Simulation eines Doppelspaltexperiments. Hinter den Spalten bilden sich Kreiswellen, die sich abhängig vom Winkel konstruktiv oder destruktiv überlagern. Thomas Youngs Skizze der Doppelspaltinterferenz basierend auf der Beobachtung von Wasserwellen. Experiment: Wir öffnen zwei Spalte. Beobachtung: Abhängig vom Winkel gibt es Bereiche, in denen die Welle verschwindet und Bereiche, in denen sie vorhanden bleibt. Erklärung: Ursache ist konstruktive (verstärkende) und destruktive (auslöschende) Überlagerung der Elementarwellen.

Bestimmung der Richtungswinkel

Geometrie des Doppelspalt-Experiments. Bei hinreichend weit entferntem Schirm können wir die Strahlen als parallel annehmen.

Die Kreiswellen der Spalte verstärken sich in einem Punkt (konstruktive Interferenz), wenn Wellenberg auf Wellenberg und Wellental auf Wellental trifft. Auslöschung tritt auf, wenn Wellenberg auf Wellental und umgekehrt trifft. Die Wegdifferenz zu den beiden Spalten kann für einen weit entfernten Schirm leicht bestimmt werden. In diesem Fall sind die Winkel nahezu gleich und wir finden mit dem Wegunterschied $\delta$:

$\sin(\alpha )={\frac {\delta }{g}}$

mit dem Spaltabstand $g$.

Grafische Simulation interferierender Kreiswellen. Rot ist das auf einem Schirm zu beobachtende Intensitätsprofil eingezeichnet.

Maxima

Die Wegdifferenz zu den beiden Spalten muss ganzzahlige Vielfache von $\lambda$ betragen, die Phasendifferenz ganzzahlige Vielfache von $2\pi$:

$\delta =n\cdot \lambda \,,\quad n=0,1,2,\dots$

Bedingung für die Richtungswinkel $\alpha$ der Maxima des Doppelspalts: $\sin(\alpha )={\frac {n\cdot \lambda }{g}}\,,\quad n=0,1,2,\dots$

Minima

Die Wegdifferenz zu den beiden Spalten muss eine ungerade Anzahl von ${\frac {\lambda }{2}}$ betragen, die Phasendifferenz eine ungerade Anzahl von $\pi$:

$\delta =(2n-1)\cdot {\frac {\lambda }{2}}=\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\cdot \lambda \,,\quad n=1,2,\dots$

Bedingung für die Richtungswinkel $\alpha$ der Minima des Doppelspalts: $\sin(\alpha )={\frac {\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\cdot \lambda }{g}}\,,\quad n=1,2,\dots$

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Aufgabe: Mikrowellen treffen auf einen Doppelspalt.

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Beugung von Licht am Doppelspalt

… und Beugungsbild.

Doppelspalt …

Interferenzmuster eines Doppelspalts.

Wir wollen untersuchen, ob Licht Welleneigenschaften besitzt.

Experiment: Wir richten einen Laserpointer (monochromatisches Licht) auf einen Doppelspalt. Beobachtung: Auf einem Schirm beobachten wir Maxima und Minima. Bei Vergrößerung des Spaltabstands verringert sich der Abstand der Maxima/Minima.

Man bezeichnet das Muster auf dem Schirm als Beugungs- oder Interferenzmuster.

$\Rightarrow \quad$ Licht breitet sich wie eine Welle aus!

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Aufgabe: Licht trifft auf einen Doppelspalt.

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Der Einzelspalt

Numerische Simulation einer Wellenfronten hinter einem Spalt, $b=5\lambda$.

Numerische Simulation einer Wellenfronten hinter einem Spalt, $b=\lambda$.

Frage: Entsteht hinter dem Spalt wirklich eine Elementarwelle?

Experiment: Wir richten einen Laserpointer (monochromatisches Licht) auf einen Einzelspalt. Beobachtung: Auf einem Schirm beobachten wir ebenfalls eine Beugungsstruktur mit Maxima und Minima. Bei Vergrößerung der Spaltbreite verringert sich der Abstand der Maxima/Minima.

Bestimmung der Richtungswinkel für die Minima

An jedem Punkt des Spalts entsteht eine Elementarwelle.

Geometrie des Einzelspalt-Experiments.

Wellenfronten hinter einem Spalt, $b=4\lambda$.

Beim Einzelspalt kann man mit unseren Methoden nur die Position der Minima berechnen. Jeder Punkt des Einzelspalts kann als Ausgangspunkt einer Elementarwelle gesehen werden. Ein Minimum entsteht, wenn zu jedem Strahl ein anderer mit Phasendifferenz $\pi$ bzw. Wegdifferenz $\delta ={\frac {\lambda }{2}}$ existiert.

Wir teilen den Spalt in zwei Zonen ${\overline {AM'}}$ und ${\overline {M'B}}$ und betrachten die bei $A$ und $M'$ startenden Strahlen:

• Sie löschen sich aus, wenn zwischen ihnen eine Wegdifferenz $\delta ={\frac {\lambda }{2}}$ besteht.
• Nun löschen sich aber paarweise alle Strahlen aus. Zu jedem Strahl aus ${\overline {AM'}}$ existiert genau ein Strahl aus ${\overline {M'B}}$ mit $\delta ={\frac {\lambda }{2}}$.

In diesem Fall gilt (siehe Bild): $\quad \sin(\alpha )={\frac {\frac {\lambda }{2}}{\frac {b}{2}}}={\frac {\lambda }{b}}$.

• Das zweite Minimum tritt auf, wenn sich schon im Bereich ${\overline {AM'}}$ alle Stahlen auslöschen. Das ist der Fall wenn die bei $A$ und $M'$ startenden Strahlen eine Wegdifferenz von $\delta =\lambda$ aufweisen.

In diesem Fall gilt: $\quad \sin(\alpha )={\frac {\lambda }{\frac {b}{2}}}={\frac {2\lambda }{b}}$.

Allgemein findet man:

Bedingung für die Richtungswinkel $\alpha$ der Minima des Einzelspalts: $\sin(\alpha )={\frac {n\cdot \lambda }{b}}\,,\quad n=1,2,\dots$

Interpretation für $b=\lambda$

Für $b=\lambda$ existiert nur ein Minimum $n=1$:

$\sin(\alpha )={\frac {n\cdot \lambda }{\lambda }}\quad \Rightarrow \sin(\alpha )=1\quad \Rightarrow \alpha =90^{\circ }$.

Wird die Spaltbreite weiter verringert, breitet sich nach dem Spalt tatsächlich mehr und mehr eine in alle Richtungen mit gleicher Amplitude verlaufende Elementarwelle aus.

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Aufgabe: Einzelspaltbreite aus Beugungsbild.

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Das optische Gitter

Geometrie der Beugung am Liniengitter.

Numerische Simulation der Beugung eines Laser-Strahls an einem Gitter. Experiment: Wir richten einen Laserpointer (monochromatisches Licht) auf ein Liniengitter. Beobachtung: Auf einem Schirm beobachten wir einzelne, sehr scharfe Maxima.

Bestimmung der Richtungswinkel für die Maxima

In jeder Beugungsordnung hat jede Wellenlänge $\lambda$ ihr scharfes Maximum unter einem anderen Richtungswinkel: Licht, das mehrere Wellenlänge enthält, wird in seine Bestandteile zerlegt. Im Bild werden höhere Beugungsordnungen schmäler dargestellt, um den Überlapp der Ordnungen besser zu veranschaulichen.

Wir gehen davon aus, dass von jeder Gitterlinie eine Elementarwelle ausgeht. Ein Maximum entsteht, wenn sich alle Elementarwellen konstruktiv überlagern. In diesem Fall haben nebeneinander liegende Strahlen einen Wegunterschied von Vielfachen von $\lambda$ und es gilt:

Bedingung für die Richtungswinkel $\alpha$ der Maxima des Gitters: $\sin(\alpha )={\frac {n\cdot \lambda }{g}}\,,\quad n=0,1,2,\dots$

Warum löschen sich in allen anderen Fällen alle Strahlen aus? Nehmen wir an, der Wegunterschied benachbarter Strahlen beträgt ${\frac {\lambda }{10}}$. Dann ist der Wegunterschied zwischen den nächsten Strahlen:

Strahlen	1 und 2	1 und 3	1 und 4	1 und 5	1 und 6	2 und 7	3 und 8
Wegdifferenz	${\frac {\lambda }{10}}$	${\frac {2\lambda }{10}}={\frac {\lambda }{5}}$	${\frac {3\lambda }{10}}$	${\frac {4\lambda }{10}}={\frac {2\lambda }{5}}$	${\frac {5\lambda }{10}}={\frac {\lambda }{2}}$	${\frac {5\lambda }{10}}={\frac {\lambda }{2}}$	${\frac {5\lambda }{10}}={\frac {\lambda }{2}}$

Strahl 1 und Strahl 6 löschen sich wegen ${\frac {5\lambda }{10}}={\frac {\lambda }{2}}$ aus, ebenso Strahl 2 und Strahl 7, Strahl 3 und Strahl 8 … usw., d.h. am Ende haben sich alle Strahlen paarweise ausgelöscht. Dies gilt allgemein nicht für alle möglichen Wegdifferenzen benachbarter Strahlen, die kein Vielfaches von $\lambda$ betragen. Man kann aber immer Kombinationen mehrerer Strahlen finden, die sich auslöschen und damit löschen sich dann alle Strahlen aus.

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Aufgabe: Wellenlängenbestimmung mit einer CD als Reflexionsgitter.
Aufgabe: Beugungsmaxima eines gekippten Gitters.

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Beschreibung von Mehrfachspalt und Gitter mit Zeigern

Eine harmonische Welle kann mit einem rotierenden Zeiger beschrieben werden.

Sinus und Kosinus am Einheitskreis.

Eine harmonische Welle kann mit einem rotierenden Zeiger beschrieben werden. Bei Mehrfachspalt und Gitter überlagern sich die Wellen der verschiedenen Spalte. Die Wellen benachbarter Spalte haben jeweils eine vom Beobachtungswinkel abhängige Phasenverschiebung $\delta$ zueinander. Mit jedem weiteren Spalt kommt eine wiederum um $\delta$ phasenverschobene Welle hinzu.

Wir können die Zeiger aller dieser Wellen addieren und erhalten damit den resultierenden Zeiger. Die Länge dieses Zeigers gibt die resultierende Amplitude an. Die Amplitude wird Maximal, wenn alle Zeiger in dieselbe Richtung zeigen, also in Phase sind. Ein Minimum entsteht, wenn alle Zeiger aneinandergereiht einen geschlossenen Linienzug bilden, der resultierende Zeiger also verschwindet.

• Beispiele für Mehrfachspalt-Interferenzen und die Analyse mittels Zeigern
• 
  Addition dreier Wellen: Jede Welle weist zur vorhergehenden eine Phasenverschiebung von $\delta$ auf.
• 
  Doppelspalt
• 
  Dreifachspalt
• 
  Vierfachspalt
• 
  Fünffachspalt
• 
  Sechsfachspalt
• 
  Siebenfachspalt
• 
  Achtfachspalt

Zeiger-Animationen für 2, 5, 10 und 40 Linien Interferenzen.

• Zeiger-Animationen zur Erläuterung von Mehrfachspalt-Interferenzen
• 
  Doppelspalt
• 
  Dreifachspalt
• 
  Fünffachspalt
• 
  Zehnfachspalt
• 
  Gitter, 20 Linien
• 
  Gitter, 30 Linien
• 
  Gitter, 40 Linien

Man erkennt folgende Gesetzmäßigkeiten:

• Zwischen den Haupmaxima eines Gitters mit $n$ Spalten befinden sich immer $n-1$ Minima, dazwischen sind $n-2$ Nebenmaxima.
• Die Haupmaxima werden umso schärfer, je mehr Gitterlinien vorhanden bzw. beleuchtet sind.
• Die Intensität der Nebenmaxima wird mit mehr Gitterlinien immer geringer.

Einzelspalteffekte bei Mehrfachspalt-Experimenten

Beugungsbild eines Doppelspalts und das des zugehörigen Einzelspalts.

Intensitätsverteilung hinter einem Doppelspalt (rot). Die Einhüllende ist das Beugungsbild eines Spaltes.

In vielen Fällen werden Mehrfachspalt-Experiemente mit Spaltbreiten durchgeführt, die größer sind als die Wellenlänge $\lambda$. Dies hat zur Folge, dass von jedem einzelnen Spalt statt idealer Elementarwellen bereits Wellen mit dem entsprechenden winkelabhängigen Einzelspalt-Intensitätsprofil ausgehen. In Folge ist das Beugungsbild der Gesamtstruktur von dem des einzelnen Spalts überlagert: In Richtung der Minima des Einzelspalts bleiben Maxima der Gesamtstruktur, beispielsweise eines Gitters oder Doppelspalts, unsichtbar.

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Aufgabe: Einzelspalteffekte und Doppelspalt.
Aufgabe: Sichtbare Beugungsordnungen eines Liniengitters.

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Spektralanalyse mit Liniengittern

Simulation der Beugung von sichtbarem Licht unterschiedlicher Wellenlänge $\lambda$ an einem Liniengitter. Im Bild werden wieder höhere Beugungsordnungen schmäler dargestellt, um den Überlapp der Ordnungen besser zu veranschaulichen.

DBP 1987 1313 Joseph von Fraunhofer, Sonnenspektrum

Kontinuierliches Spektrum und Spektrallinien

Beleuchtet man ein Gitter mit Licht unterschiedlicher Wellenlängen, so liegen die Maxima jeder Wellenlänge unter einem anderen Richtungswinkel. Man erhält also ein Spektrum der Strahlung, d.h. eine Zerlegung in alle in der Strahlung vorhandenen Wellenlängen. Die Analyse von Licht (Spektroskopie) erlaubt mannigfaltige Anwendungen in Physik, Chemie, Astronomie, …

Grundsätzlich unterscheidet man drei Arten von Spektren:

• Kontinuierliche Spektren: Man kann keine einzelnen Linien erkennen, alle Wellenlängen (und damit Farben) kommen vor, möglicherweise mit unterschiedlicher Intensität.
• Diskrete Spektren:
  • Emissionsspektren: Die Strahlung enthält nur einzelne, diskrete Wellenlängen. Ihre Analyse ermöglicht Eigenschaften der Strahlungsquelle herauszufinden.
  • Absorptionsspektren: In einem kontinuierlichen Spektrum fehlen einzelne, diskrete Wellenlängen. Sie ermöglichen Eigenschaften eines zwischen der Quelle und dem Spektrometer befindlichen Transportmediums zu untersuchen.

Aufgabe: ToDo: Überlappende Ordnungen bei der Gitterspektroskopie.

Kohärenz

Oben große, unten wesentlich kürzere Kohärenzlänge.

Lichtquellen senden Wellenpakete aus. Zwischen verschiedenen Paketen besteht keine feste Phasenbeziehung, sie sind inkohärent.

Lichtquellen senden keine unendlich langen Wellenzüge aus. Abhängig von der Art der Erzeugung der Welle besteht das emmitierte Licht aus sehr kurzen (~µm, z.B. Glühlicht) oder bei z.B. LASERN sehr langen Wellenzügen (viele ~km).

Besteht zwischen zwei Wellen eine feste Phasenbeziehung, so bezeichnet man diese Wellen als kohärent. Überlagert man kohärente Wellenzüge, kann man Interferenzerscheinungen beobachten.

Zwischen inkohärenten Wellen besteht keine feste Phasenbeziehung, bei einer Überlagerung beobachtet man keine Interferenz.

Bei Interferenzexperimenten vergleicht man Wellenzüge, die meist unterschiedliche Strecken zurückgelegt haben. Beträgt die Wegdifferenz mehr als die Kohärenzlänge, so sind keine Interferenzen mehr sichtbar. Statistisch verteilte Phasen verschiedener Wellenpakete überlagern sich inkohärent.