Moderne Termlogik: Einleitung: Worum geht es?

Moderne Termlogik

Einleitung

Worum geht es?

Aristoteles hat in seiner  Analytica Priora eine formale Logik für  Begriffe erklärt. Dabei geht es um Begriffe wie “Mensch”, “Zweibeiner”, “das Gute”, “Fleiss”, “Weisheit”, “das Weisse” usw. Aristoteles untersucht, in welchem Verhältnisse unterschiedliche Begriffe zueinander stehen können. Dabei ist das zentrale Verhältnis zweier Begriffe dadurch gegeben, dass ein Begriff  Unterbegriff eines anderen sein kann:

Der Begriff “Mensch” ist z.B. Unterbegriff des Begriffs “Lebewesen”; man sagt auch: “Mensch” ist eine Art der Gattung “Lebewesen”.

Für diese Unterordnung eines Begriffes S unter einen anderen Begriff P schreiben wir $P\longrightarrow S$ ($Gattung\longrightarrow Art$). Um die hierarchische Struktur zu betonen (die Art steht unter der Gattung), wird auch die folgende Darstellung verwendet:

P (Gattung)

$\downarrow$

S (Art)

So gilt z.B.

Lebewesen

$\downarrow$

Mensch

Man kann diesen Sachverhalt nun alternativ auch so ausdrücken, dass jeder Mensch (S) ein Lebewesen (P) ist. Oder, wie es meist geschrieben wird:

• Alle Menschen sind Lebewesen.

In dieser Sprechweise verschiebt sich der Schwerpunkt der Aussage von den Begriffen “Mensch”, “Lebewesen”, auf die einzelnen Menschen, die Individuen, und man kann auch sagen

• (1) Alles, was Mensch ist, ist auch Lebewesen.

Der Unterschied zu

• (2) “Mensch” ist ein Unterbegriff von “Lebewesen”

mag im Moment recht gekünstelt erscheinen, wird sich aber als zentral für die formale Logik erweisen. Im ersten Fall ist es eine Aussage über Individuen, Einzelwesen, im zweiten Fall eine Feststellung über Begriffe. Dass diese beiden Aussagen nicht unabhängig voneinander sind, ist klar - denn sonst wäre ja kein vernünftiger Sprachgebrauch möglich; hierauf gehen wir später noch ausführlich ein (im Abschnitt über die Semantik der modernen Termlogik).

Wer sich schon einmal mit der  Prädikatenlogik beschäftigt hat, kann die obige Formulierung (1) wie folgt in die Syntax dieser Logik übersetzen:

• (1*) $\forall x(Sx\Rightarrow Px)$

Die Formulierung (2) können wir allerdings, ohne uns auf den Formalismus der Prädikatenlogik zu beziehen, einfacher symbolisch ausdrücken; wir schreiben einfach

• (2*) $A(S,P))$,

wobei die Terme S und P für die Begriffe "Mensch" und "Lebewesen" stehen, und A das Verhältnis der Unterordnung von S unter P bedeutet.

Was in der Gegenüberstellung von (1*) und (2*) auffällt, ist die Tatsache, dass in (1*) (ausser Klammern) insgesamt 6 verschiedene Symbole vorkommen ( $\forall ,\Rightarrow$,x, S, P ), während es in (2*) (ausser Klammern und Komma) nur 3 sind: A, S, P.

Dass diese Überlegungen nicht nur Spielereien mit Formalismen sind, sieht man, wenn man eine weitere Beziehung zwischen Begriffen, die auch von Aristoteles geprägt wurde, hinzunimmt. Wir illustrieren dies an dem Beispiel der Begriffe "Philosoph" und "Grieche". Hier gibt es keine Unterordnung eines der Begriffe unter den anderen, sondern man kann sagen:

• (3) Einige Griechen sind Philosophen,

oder, wenn man nicht auf die Individuen abstellt, sondern auf die Begriffe "Grieche", "Philosoph":

• (4) Die Begriffe "Grieche" und "Philosoph" haben einen gemeinsamen Unterbegriff.

Der gemeinsame Unterbegriff wäre in diesem Fall "Griechischer Philosoph", aber das ist bei der Formulierung von (4) nicht wichtig. In der Sprechweise der Aristotelischen Logik handelt es sich um ein sog. I- Urteil, und mit Hilfe der Prädikatenlogik formuliert man (3) in der Gestalt

• (3*) $\exists x(Gx\land Px)$

Eine "direkte" Schreibweise für diesen Sachverhalt wäre - analog zu (2*) -

• (4*) $I(G,P)$

Mit Hilfe der Schreibweisen (2*) und (4*) lässt sich nun eines der Grundgesetze der Aristotelischen Logik sauber formulieren, die sog.

• Subalternation: Aus $A(S,P)$ folgt $I(S,P)$.

Während es selbstverständlich und einfach ist, dieses direkt auf Aristoteles zurückgehende "Gesetz" in eine auf dem Formalismus (2*) und (3*) aufbauende Logik als Axiom aufzunehmen, bereitet die Berücksichtigung dieser klassischen Schlussweise im Rahmen der prädikatenlogischen Formulierungen (1*), (2*) grosse Schwierigkeiten. Das liegt daran, dass die prädikatenlogische Formel

• $\forall x(Sx\Rightarrow Px)\Rightarrow \exists x(Gx\land Px)$

keine Tautologie, d.h. nicht unter allen Umständen wahr ist.

Seit der Erfindung der Prädikatenlogik ist versucht worden, dieses Problem durch Zusatzannahmen (Existenzielle Voraussetzungen) zu beheben. Allerdings zerstören alle solche Zusatzannahmen das System der Aristotelischen Logik in irreparabler Weise ( s. [1]).