Moderne Termlogik/ Terme und nichtleere Mengen

Moderne Termlogik

5. Standardsemantik der Termlogik

5.1 Terme und nichtleere Mengen

In diesem Abschnitt wollen wir die bisher ganz abstrakt verwendeten Symbole $a,b,c,...$ und $Aab,Eac,...$ mit einer Bedeutung versehen, oder, anders ausgedrückt, sie interpretieren. Es ist vielleicht nicht verwunderlich, dass es zu einem vorgegebenen syntaktischen System ganz verschiedene Interpretationen (Semantiken) geben kann - das ist eben die Eigenschaft eines formalen Systems, mit dem man Ergebnisse für ganz unterschiedliche Anwendungsbereichen ableiten kann.

Das System der Termlogik hat nun eine Standardsemantik, bei der man die Terme $a,b,c...$ als nichtleere Mengen interpretiert und die Urteile (Aussagen) $Aab,Eab,Iab,Oab$ durch Mengenoperationen erklärt.

Sei ${\mathcal {U}}$ ein beliebiges System nichtleerer Mengen (in konkreten Fällen wird es sich häufig um alle nichtleeren Teilmengen einer gegebenen Grundmenge handeln).

Definition (Interpretation). Sei ${\mathfrak {i}}:T\rightarrow {\mathcal {U}}$ eine Abbildung, die jedem Term der Termmenge $T=\left\{a,b,c,...\right\}$ eine Menge $U\in {\mathcal {U}}$ zuordnet. Das Paar ${\mathfrak {I}}=\left({\mathfrak {i,{\mathcal {U}}}}\right)$ heisst dann eine Interpretation der Termlogik.

Definition (Modell). Sei $p$ eine Aussage der Termlogik, also eines der Urteile $Aab,Eab,Iab,Oab$. Eine Interpretation $\left({\mathfrak {i,{\mathcal {U}}}}\right)$ heisst Modell von $p$, wenn

${\mathfrak {i}}(a)\subset {\mathfrak {i}}(b)$	falls p=Aab
${\mathfrak {i}}(a)\cap {\mathfrak {i}}(b)=\emptyset$	falls p=Eab
${\mathfrak {i}}(a)\cap {\mathfrak {i}}(b)\neq \emptyset$	falls p=Iab
${\mathfrak {i}}(a)\not \subset {\mathfrak {i}}(b)$	falls p=Oab

Schreibweise: Wenn eine Interpretation ${\mathfrak {I}}=\left({\mathfrak {i,{\mathcal {U}}}}\right)$ ein Modell für eine Aussage $p$ ist, schreiben wir auch ${\mathfrak {I}}\models p$ (als Gedächtnisstütze: Das Zeichen $\models$ wird in TeX "\models" geschrieben).

Ein Beispiel: In der folgenden Skizze sei ${\mathcal {U}}$ die Menge aller nichtleeren Teilmengen des umschreibenden Rechtecks. Betrachten wir die Urteile $\left\{Aba,Icd,Ebc\right\}$ und die Interpretation $A={\mathfrak {i}}(a),B={\mathfrak {i}}(b),C={\mathfrak {i}}(c),D={\mathfrak {i}}(d)$, wobei $A,B,C,D$ die in der Skizze dargestellten Teilmengen sein sollen. Dann ist die so definierte Interpretation ein Modell für alle vier Urteile.