Moderne Termlogik/ Terme und nichtleere Mengen

Moderne Termlogik Bearbeiten

5. Standardsemantik der Termlogik Bearbeiten

5.1 Terme und nichtleere Mengen Bearbeiten

In diesem Abschnitt wollen wir die bisher ganz abstrakt verwendeten Symbole   und   mit einer Bedeutung versehen, oder, anders ausgedrückt, sie interpretieren. Es ist vielleicht nicht verwunderlich, dass es zu einem vorgegebenen syntaktischen System ganz verschiedene Interpretationen (Semantiken) geben kann - das ist eben die Eigenschaft eines formalen Systems, mit dem man Ergebnisse für ganz unterschiedliche Anwendungsbereichen ableiten kann.

Das System der Termlogik hat nun eine Standardsemantik, bei der man die Terme   als nichtleere Mengen interpretiert und die Urteile (Aussagen)   durch Mengenoperationen erklärt.

Sei   ein beliebiges System nichtleerer Mengen (in konkreten Fällen wird es sich häufig um alle nichtleeren Teilmengen einer gegebenen Grundmenge handeln).

Definition (Interpretation). Sei   eine Abbildung, die jedem Term der Termmenge   eine Menge   zuordnet. Das Paar   heisst dann eine Interpretation der Termlogik.

Definition (Modell). Sei   eine Aussage der Termlogik, also eines der Urteile  . Eine Interpretation   heisst Modell von  , wenn

  falls p=Aab
  falls p=Eab
  falls p=Iab
  falls p=Oab

Schreibweise: Wenn eine Interpretation   ein Modell für eine Aussage   ist, schreiben wir auch   (als Gedächtnisstütze: Das Zeichen   wird in TeX "\models" geschrieben).

Ein Beispiel: In der folgenden Skizze sei   die Menge aller nichtleeren Teilmengen des umschreibenden Rechtecks. Betrachten wir die Urteile   und die Interpretation  , wobei   die in der Skizze dargestellten Teilmengen sein sollen. Dann ist die so definierte Interpretation ein Modell für alle vier Urteile.