Moderne Termlogik/ Abgeleitete Regeln

Moderne Termlogik Bearbeiten

4. Syllogistik Bearbeiten

4.1 Abgeleitete Regeln Bearbeiten

Im Abschnitt Die Transformationsregeln haben wir die vier grundlegenden Transformationsregeln   angegeben, die die Basis für alle Ableitungen bilden.

Die Regeln   werden seit klassischer Zeit Syllogismen genannt, und zwar tragen sie die Namen

Regel Name der Regel
  Barbara
  Celarent

Aus diesen Regeln - unter Verwendung von   - lassen sich nun weitere Regeln ableiten, die man als "Makros" verwenden kann. Das bedeutet, dass man diese neuen Regeln aus   bis   ein einziges Mal herleitet, um sie dann später stets einsetzen zu können, ohne jedesmal bis auf die Ursprungsregeln zurückzugehen.

Exemplarisch leiten wir die beiden folgenden Regeln her, die, zusammen mit Barbara und Celarent, zu den vier perfekten Syllogismen gehören:

Regel Name der Regel
  Darii
  Ferio
  • DARII

Um diese Regel abzuleiten, setzen wir   voraus und leiten daraus (mit der indirekten Beweismethode)   ab. Da dies dann für alle beliebigen terme   gilt, ist die Regel abgeleitet.

1.   Annahme
2.   Annahme
3.   Annahme  
4.   3 Regel  
5.   2,4 Celarent ( )
6.   5 Regel  
7. X 1,6 Widerspruch!
8.   7

Wenn man die Regel einmal abgeleitet hat, kann man die obigen 8 Schritte zukünftig abkürzen:

1.   Annahme
2.   Annahme
3.   Darii
  • FERIO

In diesem Fall setzen wir   voraus und leiten daraus mit indirektem Beweis   her:

1.   Annahme
2.   Annahme
3.   Annahme  
4.   1 Erklärung s.u.
5.   4,3 Darii
6. X 2,5 Widerspruch!
8.   6

Man sieht, wie im Beweis der Regel Ferio die vorher abgeleitete Regel Darii (als "Makro") benutzt werden kann. Im Schritt 4. der obigen Ableitung haben wir die abgeleitete Regel

 

verwendet, die noch bewiesen werden muss:

  • I-Konversion

Wir setzen   voraus und leiten daraus durch einen indirekten Beweis   ab:

1.   Annahme
2.   Annahme  
3.   2 Regel   (E-Konversion)
4. X 1,3 Widerspruch!
5.   4