Moderne Termlogik/ Abgeleitete Regeln

Moderne Termlogik

4. Syllogistik

4.1 Abgeleitete Regeln

Im Abschnitt Die Transformationsregeln haben wir die vier grundlegenden Transformationsregeln $R_{1},R_{2},R_{3},R_{4}$ angegeben, die die Basis für alle Ableitungen bilden.

Die Regeln $R_{3},R_{4}$ werden seit klassischer Zeit Syllogismen genannt, und zwar tragen sie die Namen

Regel	Name der Regel
$Axy,Ayz\rightarrow Axz$	Barbara
$Axy,Exz\rightarrow Exz$	Celarent

Aus diesen Regeln - unter Verwendung von $R_{1},R_{2}$ - lassen sich nun weitere Regeln ableiten, die man als "Makros" verwenden kann. Das bedeutet, dass man diese neuen Regeln aus $R_{1}$ bis $R_{4}$ ein einziges Mal herleitet, um sie dann später stets einsetzen zu können, ohne jedesmal bis auf die Ursprungsregeln zurückzugehen.

Exemplarisch leiten wir die beiden folgenden Regeln her, die, zusammen mit Barbara und Celarent, zu den vier perfekten Syllogismen gehören:

Regel	Name der Regel
$Ixy,Ayz\rightarrow Ixz$	Darii
$Ixy,Eyz\rightarrow Oxz$	Ferio

• DARII

Um diese Regel abzuleiten, setzen wir $Iab,Abc$ voraus und leiten daraus (mit der indirekten Beweismethode) $Iac$ ab. Da dies dann für alle beliebigen terme $a,b,c$ gilt, ist die Regel abgeleitet.

1.	$Iab$		Annahme
2.	$Abc$		Annahme
3.	$Eac$		Annahme $Eac=C(Iac)$
4.	$Eca$	3	Regel $R_{2}$
5.	$Eba$	2,4	Celarent ($R_{4}$)
6.	$Eab$	5	Regel $R_{2}$
7.	X	1,6	Widerspruch!
8.	$Iac$	7

Wenn man die Regel einmal abgeleitet hat, kann man die obigen 8 Schritte zukünftig abkürzen:

1.	$Iab$		Annahme
2.	$Abc$		Annahme
3.	$Iac$		Darii

• FERIO

In diesem Fall setzen wir $Ixy,Eyz$ voraus und leiten daraus mit indirektem Beweis $Oac$ her:

1.	$Iab$		Annahme
2.	$Ebc$		Annahme
3.	$Aac$		Annahme $Aac=C(Oac)$
4.	$Iba$	1	Erklärung s.u.
5.	$Ibc$	4,3	Darii
6.	X	2,5	Widerspruch!
8.	$Oac$	6

Man sieht, wie im Beweis der Regel Ferio die vorher abgeleitete Regel Darii (als "Makro") benutzt werden kann. Im Schritt 4. der obigen Ableitung haben wir die abgeleitete Regel

$Ixy\rightarrow Iyx$

verwendet, die noch bewiesen werden muss:

• I-Konversion

Wir setzen $Iab$ voraus und leiten daraus durch einen indirekten Beweis $Iba$ ab:

1.	$Iab$		Annahme
2.	$Eba$		Annahme $Eba=C(Iba)$
3.	$Eab$	2	Regel $R_{2}$ (E-Konversion)
4.	X	1,3	Widerspruch!
5.	$Iba$	4