Mikroökonomie/ Haushaltstheorie

Haushaltstheorie

Präferenzordnungen

Die Mikroökonomie geht von der zentralen These aus, dass alle wirtschaftlichen Ereignisse auf den rationalen Entscheidungen einzelner Menschen fußen . Um Marktprozesse zu erklären, fängt die Mikroökonomie daher auf der untersten Ebene an (daher die Bezeichnung Mikroökonomie): bei der Analyse der wirtschaftlichen Entscheidungen von Individuen.

Menschen sind offensichtlich sehr unterschiedlich. Der eine isst gerne Spaghetti, der andere weilt lieber beim Chinesen, der eine geht gerne ins Kino, der andere spart lieber auf große Reisen und wieder ein anderer gibt sein ganzes Geld für Bücher aus. Wie lässt sich diese Vielfalt an Konsumvorlieben möglichst allgemein fassen? Die Mikroökonomie geht davon aus, dass die Menschen unterschiedliche Präferenzen haben. Die Frage, woher diese unterschiedlichen Neigungen stammen, wird ausgeblendet. Die mikroökonomische Theorie beginnt erst mit der Fragestellung, wie unter bestimmten Nebenbedingungen gegebene Vorlieben möglichst gut befriedigt werden können.

Der Begriff „Haushaltstheorie“ leitet sich aus der Tatsache ab, dass die Analyse auf der Ebene des Haushalts halt macht und es in diesem Einführungslehrbuch keine Rolle spielen soll, wie die Entscheidungen innerhalb eines Haushalts zu Stande kommen. Man spricht in diesem Fall davon, dass die Haushalte als eine black box aufgefasst werden. Wir analysieren nur ihr Verhalten auf dem Markt, nicht aber, was sich in ihrem Innern abspielt. Egal ob ein Haushalt aus einer Person oder einer ganzen Familie besteht, soll er als eine wirtschaftliche Einheit behandelt werden. Vereinfachend gesprochen, wird davon ausgegangen, dass jeder Haushalt aus genau einem Individuum besteht. Daher verwenden wir im Folgenden die Begriffe „Individuum“ und „Haushalt“ synonym. Diese Vorgehensweise wird sich bei der [Mikroökonomie/_Unternehmenstheorie|Unternehmenstheorie] wiederholen, bei der die mannigfaltigen Produktionsbeziehungen und Interessenkonflikte innerhalb eines Unternehmens vorerst ausgeblendet werden.

Um die Bedürfnisbefriedigung messen zu können, muss ein Haushalt in der Lage sein, beliebige Güterbündel zu bewerten und in eine persönliche Rangfolge zu bringen. Wir unterscheiden die ordinale und die kardinale Nutzentheorie. Die ordinale Nutzentheorie verlangt, dass die Haushalte in der Lage sind, zwei beliebige Güterbündel danach zu unterscheiden, ob sie denselben Nutzen stiften oder ob eines gegenüber dem anderen strikt besser ist. Alle Güterbündel können somit in eine Rangordnung gebracht werden - von dem Bündel, das den geringsten Nutzen stiftet, bis hin zum Bündel, das den höchsten Nutzen stiftet -, ohne dass der genaue Nutzenwert bekannt sein muss. Die kardinale Nutzentheorie geht einen Schritt weiter. Sie geht davon aus, dass es möglich ist, allen Güterbündeln ein eindeutig messbares Nutzenniveau zuzuschreiben, das auf einer metrischen Skala definiert ist, die für alle Menschen gleich ist. Ist dies der Fall, kann auch die Frage beantwortet werden, wie viel mehr oder weniger Nutzen ein bestimmtes Güterbündel stiftet. Diese Information ist bei einer rein ordinalen Rangordnung nicht vorhanden.

Ein gutes Beispiel außerhalb der Ökonomie für ordinale und kardinale Rangfolgen sind Schulnoten und Körpergrößen. Eine Eins in Mathe ist mit Sicherheit eine bessere Note als eine Drei. Allerdings lässt sich nicht sagen, dass eine Eins dreimal so gut ist wie eine Drei. Ein Mensch, der zwei Meter misst, ist dagegen in der Tat doppelt so groß wie ein Dreijähriger, der genau einen Meter hoch ist. Schulnoten sind ordinal skaliert, während Körpergrößen eine kardinale Skala besitzen. Für die Herleitung des Haushaltsoptimums reichen die äußerst sparsamen Annahmen der ordinalen Nutzentheorie aus, während für anspruchsvollere Fragestellungen (z.B. Entscheidungen bei Unsicherheit) meist Kardinalität unterstellt werden muss. Die Unterscheidung von ordinalen und kardinalen Nutzenfunktionen hat allerdings wenig praktische Bedeutung und mehr einen theoretischen Wert und soll daher keine weitere Rolle spielen. Vielmehr werden im Folgenden der Einfachheit halber kardinale Nutzenfunktionen unterstellt.

Die Grundannahmen der Nutzentheorie

Die Nutzentheorie stellt für gewöhnlich die folgenden fünf Grundannahmen auf, die die meisten menschlichen Präferenzordnungen erfüllen. Vorab sei kurz die verwendete Notation vorgestellt, die an Feess (2000) angelehnt ist. $X_{i}\equiv (x_{1}^{i},x_{2}^{i},\dots ,x_{n}^{i})$ stellt ein Güterbündel dar, das aus n verschiedenen Konsumgütern besteht, wobei $x_{k}^{i}$ jeweils die Menge des kten Konsumgutes im Bündel i bezeichnet. Wir verwenden die Symbole $\succ$ (wenn ein Güterbündel gegenüber einem anderen strikt bevorzugt wird), $\prec$ (wenn ein Güterbündel gegenüber einem anderen strikt weniger Nutzen stiftet) sowie $\sim$ (bei Indifferenz). Die geschwungenen Symbole sollen verdeutlichen, dass es sich hier um persönliche Nutzenbewertungen handelt und keinesfalls um reine Mengenangaben: ein Diamant kann einen viel größeren Nutzen stiften als tausend Kugelschreiber.

• Reflexivität: $X_{i}\sim X_{i}$

Die Annahme der Reflexivität erfordert, dass völlig identische Güterbündel auch gleich bewertet werden. Diese Annahme ist im Allgemeinen unproblematisch und meistens erfüllt. Sie ist allerdings dann verletzt, wenn Menschen sich durch den reinen Kontext, in dem z.B. eine Kaufentscheidung steht, beeinflussen lassen (framing). Das heißt, dass bei zwei völlig identischen (!) Frottee-Handtüchern, die in verschiedenen Läden jeweils zehn Euro kosten, das eine auch dann nicht bevorzugt werden darf, wenn ein Rabattschild darauf hinweist, dass es in diesem Laden zuvor 15 Euro gekostet hat.

• Vollständigkeit: $X_{i}{\stackrel {\preceq }{\succ }}X_{j}$

Die Annahme der Vollständigkeit erfordert, dass jeder Haushalt alle möglichen Güterbündel der Welt in eine klare Rangfolge bringen kann. Diese Annahme ist eher technischer Natur und schließt aus, dass ein Individuum einfach nicht weiß, wie es ein bestimmtes Güterbündel bewerten soll.

• Transitivität: $X_{i}\succeq X_{j}$ und $X_{j}\succeq X_{k}$ dann folgt $X_{i}\succeq X_{k}$

Die Annahme der Transitivität erfordert die Widerspruchsfreiheit der Präferenzordnung. Wenn also jemand Höherprozentiges bevorzugt, dann gilt: Schnaps $\succ$ Bier und Bier $\succ$ Wasser. Dann sollte (auch ohne Kenntnis der Alkohol-Präferenz) gelten, dass Schnaps $\succ$ Wasser.

• Nicht-Sättigung: $X_{i}=(x_{1}^{i},x_{2}^{i},\dots ,x_{n}^{i})\succ X_{j}=(x_{1}^{j},x_{2}^{j},\dots ,x_{n}^{j})$ sofern gilt, dass $x_{k}^{i}\succeq x_{k}^{j}$ für jedes beliebige Gut k und $x_{k}^{i}\succ x_{k}^{j}$ für mindestens ein Gut k.

Die Nichtsättigungs-Annahme geht davon aus, dass ein Güterbündel, das von einem Konsumgut mehr enthält als ein anderes Bündel und ansonsten gleich viel von allen anderen Gütern, auch immer strikt bevorzugt wird. Salopp gesagt, gilt: mehr ist besser.

Die Nichtsättigungs-Annahme, die auch als Monotonieeigenschaft der Präferenzen bezeichnet wird, wird vor allem von Nicht-Ökonomen scharf kritisiert. Denn natürlich kennen wir alle Situationen, in denen mehr nicht immer auch besser ist. Während das erste Freibier noch herzhaft schmeckt und vielleicht auch noch das fünfte unseren Nutzen steigert, wird uns spätestens vom dreizehnten Pils speiübel. Ist die Annahme der Nicht-Sättigung also vollkommen unrealistisch? Keineswegs. Als Ökonomen interessieren wir uns vornehmlich für Situationen, in denen wir noch längst nicht alles haben und in denen etwas mehr von einem Gut den Nutzen in der Tat noch steigert. Das ist auch der realistischere Fall. Denn wann kommen wir überhaupt einmal in die Verlegenheit, dreizehn Freibiere spendiert zu bekommen?

• Konvexität: Wenn $X_{i}\sim X_{j}$, so gilt bei konvexen Funktionen $\lambda X_{i}+(1-\lambda )X_{j}\succeq X_{i}\sim X_{j}$ für alle $0<\lambda <1$

Die Annahme der Konvexität unterstellt, dass die Konsumenten durchschnittliche Güterbündel präferieren. Mathematisch ausgedrückt, ist eine Indifferenzkurve streng konvex, wenn ihre zweite Ableitung positiv ist. Wir werden auf diesen Punkt in aller Ausführlichkeit bei der Diskussion der Grenzrate der Substitution zurückkommen.

Die Indifferenzkurve

Wie gelangen wir nun von der Kenntnis der Präferenzordnung eines Individuums zu seiner Nutzenfunktion? Stellen wir uns dazu folgende Situation vor: Zwei Brüder erhalten als Belohnung fürs abendliche Zähneputzen jeweils zwei Gummibärchen und ein Kaubonbon - die sie natürlich erst am nächsten Morgen konsumieren dürfen . Eines Tages tritt der Schrecken aller Eltern ein, nämlich dass die Tüte mit den Gummibärchen nur noch exakt zwei Stück enthält und sich trotz intensiver Suche in der Vorratskammer keine neue Tüte auftreiben lässt. (Das Beispiel stammt aus den Zeiten vor der fast völligen Liberalisierung des Ladenschlusses.) Die Tüte mit den Bonbons ist dagegen noch randvoll gefüllt. Nehmen wir an, die beiden Kinder haben absolut dieselben Präferenzen in Bezug auf Süßigkeiten. Über die Annahme der Vollständigkeit können wir ohne Mühe sofort in einem x-y-Diagramm all jene Punkte, d.h. Güterbündel, miteinander verbinden, zwischen denen jeder der Jungen genau indifferent ist. Diese Linie, auf denen alle gleich bewerteten Güterbündel liegen, wird Indifferenzkurve genannt. Die Präferenzen könnten wie rechts abgebildet aussehen. Demnach sind den Kindern zwei Gummibärchen und ein Kaubonbon (Punkt A) ebenso lieb wie zwei Kaubonbons und ein Gummibärchen (Punkt B) oder fünf Kaubonbons und ein halbes Gummibärchen. Die Indifferenzkurve ist nun (nicht nur) für die Eltern eine äußerst nützliche Information sein. Um das brave Zähneputzen zu belohnen, kann jedem Buben anstatt der zwei an diesem einen Abend nur ein Gummibärchen „ausgezahlt“ werden und anstatt des einen nun zwei Kaubonbons, sodass die Kinder denselben Nutzen wie ansonsten haben. Falls am nächsten Tag kein Gummibärchen-Nachschub besorgt werden kann, um zur alten Gewohnheit zurück zu kehren, kann noch auf andere Kombinationen ausgewichen werden, wie zum Beispiel heute und morgen jedem Kind nur ein halbes Gummibärchen zu geben und dafür jeweils fünf Kaubonbons. Immer bleiben die Kinder auf demselben Nutzenniveau.

Für diejenigen, die mit der einfachen Kinderwelt, die nur aus Gummibärchen und Kaubonbons besteht, nichts anfangen können, wollen wir die Diskussion mit einem Beispiel vertiefen, das eher aus der Erfahrungswelt von Studierenden entstammt. Gehen wir davon aus, dass sich unser Nutzen ausschließlich an dem Konsum von zwei lebensnotwendigen Gütern bemisst: von unserer Nahrungsmenge und der Größe unseres Wohnraums. Nehmen wir zur weiteren Vereinfachung an, dass sich der Komfort einer jeden Wohnung nur an der verfügbaren Wohnfläche in m² (Gut x) bemisst und die Nahrungsaufnahme in Mahlzeiten (Gut y) gemessen wird, die Essen und Trinken enthalten. Das Beispiel gewinnt an Realitätsnähe, wenn wir eine Einheit Mahlzeit nicht nur im strengen Sinne des Wortes verstehen, sondern allgemein als eine standardisierte Freizeitausgabe interpretieren, die ein Mensaessen oder ein Restaurantbesuch oder eine Kinokarte darstellen kann. Der Einfachheit halber werden wir künftig aber nur von Mahlzeiten sprechen.

Das Individuum steht bei der Bildung seiner Präferenz-Rangfolge vor der Frage, welche Kombinationen aus Mahlzeiten und Wohnfläche ihm denselben Nutzen stiften bzw. welche Güterbündel gegenüber anderen bevorzugt werden. Es erscheint plausibel, dass sich Wohnkomfort und Mahlzeiten in einer gewissen Bandbreite gegeneinander ersetzen lassen. Für eine etwas größere Studentenbude wären wir bereit, unsere sonstigen Konsumausgaben (Mahlzeiten) etwas einzuschränken, ohne dass sich unser Nutzen verringert. Auf wie viele Mahlzeiten er genau verzichten würde, hängt von seinen ganz persönlichen Präferenzen für Nahrung und Wohnen ab. …

Die Indifferenzkurve ist der geometrische Ort aller Güterbündel (x,y), die dem Individuum denselben Nutzen stiften.

to be added …

Die Budgetgerade

Das Kernelement der mikroökonomischen Haushaltstheorie ist die Nutzenmaximierung unter Knappheitsbedingungen. Die natürlichste Einschränkung, die uns im Leben begegnet, ist unser verfügbares Einkommen. Jeder und jedem von uns fällt mit Sicherheit eine Reihe von Dingen ein, die wir uns gerne leisten würden, aber nicht leisten können: für die einen ist es die berühmte "Villa im Tessin", für die anderen eine Reise um den Mond und wieder andere würden sich am liebsten die "Goldene Adele", das teuerste Gemälde der Welt, in ihr Wohnzimmer hängen.

Stellen wir uns also vor, dass unser Individuum ein bestimmtes Budget M zur freien Verfügung hat, wobei M für einen beliebigen Geldbetrag (money) steht. Bevor wir uns eingehender der Frage zuwenden, welches Konsumbündel den Nutzen des Individuums maximiert, lohnt sich ein genauerer Blick auf die Eigenschaften dieser Budgetbeschränkung. Wenn wir in der einfachen Zwei-Güter-Welt aus dem vorherigen Abschnitt bleiben, bedeutet die Budgetbeschränkung nichts anderes, als dass wir für Wohnen und Nahrung nicht mehr als M-Geldeinheiten ausgeben dürfen, d.h. der Preis von Mahlzeiten (Gut x) mal deren Anzahl plus den Quadratmeterpreis mal die Wohnfläche (Gut y) darf den Betrag M nicht überschreiten. Mathematisch lässt sich dies ausdrücken als

$p_{x}\cdot x+p_{y}\cdot y\leq M$

Von besonderem Interesse sind nun alle diejenigen Güterbündel (x,y), bei denen das gesamte Einkommen für den Konsum ausgegeben wird, also kein Geld übrig bleibt. Denn da keine Ersparnis gebildet werden soll, kann es unter der Nichtsättigungs-Annahme nicht nutzenmaximal sein, am Ende nicht alles Geld in Konsumgüter umzusetzen. Daher muss im Optimum das gesamte Budget aufgebraucht werden. Die Budgetbeschränkung wird zur Budgetgleichung:

$p_{x}\cdot x+p_{y}\cdot y=M$

Wenn wir nun alle diese Güterkombinationen, die sich der Haushalt mit seinem Budget leisten kann und bei denen gleichzeitig kein Geld übrig bleibt, in ein x-y-Diagramm einzeichnen wollen, müssen wir die Budgetgleichung nach der Menge y auflösen. Wir erhalten eine Funktionsvorschrift y(x) (sprich y von x), die uns –gegeben die Konsummenge von Gut x und gegeben unser Einkommen M- angibt, wie viele Einheiten von Gut y wir uns noch leisten können, bis das gesamte Budget erschöpft ist. Diese Funktion wird als Budgetgerade bezeichnet.

$y={\frac {M}{p_{y}}}-{\frac {p_{x}}{p_{y}}}\cdot x$

Die Budgetgerade ist die grafische Darstellung aller Kombinationen zweier Güter, die sich ein Haushalt bei gegebenem Einkommen maximal leisten kann.

Die Budgetgerade markiert eine wichtige Scheidelinie. Alle Güterbündel oberhalb der Budgetgeraden kann sich der Haushalt nicht leisten. Bei allen Güterbündeln unterhalb bleibt Geld übrig. Aus der zuvor angestellten Überlegung folgt, dass im Nutzenmaximum ein Punkt gewählt wird, der auf der Budgetgeraden liegt.

Die Budgetgerade

Betrachten wir zur Verdeutlichung ein konkretes Zahlenbeispiel. Dazu betrage das (monatliche) Budget unseres Studenten 300 Euro. Die Miete koste 6 Euro pro Mengeneinheit (Quadratmeter) und der Preis einer Mahlzeit sei 3 Euro. Auch ohne große Mathematik lässt sich die Budgetgerade nun sofort zeichnen. Angenommen der Student gibt sein gesamtes Einkommen für Essen und Trinken aus, dann kann er sich ${\tfrac {300}{p_{x}}}={\tfrac {300}{3}}=100$ Mahlzeiten leisten, während für eine Wohnung kein Cent mehr übrig bleibt. Im x-y-Koordinatensystem entspricht dieser Punkt der Stelle (100; 0) und somit die Nullstelle der Budgetgeraden. Im anderen Extremfall steckt der Student sein gesamtes Geld in eine möglichst große Wohnung. Bei einem Mietpreis von 6 Euro kann er sich dann eine ${\tfrac {300}{6}}=50$m²-große Wohnung leisten. Wir erhalten somit den Achsenabschnitt (0; 50). Da jede Gerade durch die Angabe von zwei Punkten exakt beschrieben wird, können wir an Hand dieser zwei extremen Aufteilungen des Budgets die Budgetgerade sofort zeichnen, indem wir diese beiden Punkte einfach miteinander verbinden.

Die folgende Tabelle soll verdeutlichen, dass in der Tat bei allen Konsumbündeln auf der Budgetgeraden, das Budget voll ausgeschöpft wird.

Güterbündel	Menge x	Menge y	Ausgaben ($p_{x}=3;p_{y}=6$)
A	0	50	$6\cdot 50=300$
B	20	40	$3\cdot 20+6\cdot 40=300$
C	40	30	$3\cdot 40+6\cdot 30=300$
D	70	15	$3\cdot 70+6\cdot 15=300$
E	100	0	$3\cdot 100=300$

Zur Ermittlung der Budgetgeraden können wir natürlich auch das Budget M und die Marktpreise in die allgemeine Funktionsvorschrift einsetzen. Wir erhalten dann:

$y={\frac {300}{6}}-{\frac {3}{6}}x=50-{\frac {1}{2}}x$

An diesem Ausdruck, der der allgemeinen Geradengleichung $y=mx+b$ entspricht, lassen sich nun sofort zwei wichtige Informationen ablesen. Zum einen gibt das b (in diesem Fall also die 50) den Achsenabschnitt an, was sich mit unseren Überlegungen oben deckt. Zum anderen gibt uns das m (im vorliegenden Fall also die $-{\tfrac {1}{2}}$) die Steigung der Geraden an. Das negative Vorzeichen, das eine fallende Gerade anzeigt, ist wenig verwunderlich, wenn wir uns die Interpretation der Budgetgeraden vor Augen führen. Sie besagt, dass das Individuum für jede Einheit x, die es mehr konsumieren möchte, auf 0,5 Einheiten y verzichten muss, um sein Budget nicht zu überschreiten. Oder konkret an den Zahlenwerten veranschaulicht: Wenn der Student auf 0,5 Quadratmeter Wohnfläche verzichtet, dann hat er genau die $0,5\cdot 6=3$ Euro frei, um sich eine Mahlzeit mehr kaufen zu können.

Wenn wir noch einmal zu der allgemeinen Formulierung der Budgetgerade zurückkehren, können wir die folgenden zwei wichtigen Beobachtungen treffen:

1. Die Steigung der Budgetgeraden entspricht genau dem negativen Preisverhältnis ${\tfrac {p_{x}}{p_{y}}}$ der Güter.
2. Der Achsenabschnitt der Budgetgeraden ergibt sich durch Division des Budgets M durch den Preis von Gut y.

$y=\underbrace {\frac {M}{p_{y}}} _{Achsenabschnitt}\underbrace {-{\frac {p_{x}}{p_{y}}}} _{Steigung}\cdot \quad x$

Aus diesen beiden Beobachtungen lassen sich Aussagen über die grundlegenden Eigenschaften der Budgetgeraden ableiten, wenn sich die Preise bzw. das vorgegebene Budget verändern:

Bei einer Veränderung des Budget verschiebt sich die Budgetgerade parallel.

Eine reine Veränderung des Budgets (d.h. bei gleich bleibenden Preisen) führt zu einer Parallelverschiebung der Budgetgerade nach unten oder oben. Wenn sich die Preise nicht verändern, verändert sich die Steigung nicht. Eine unveränderte Steigung bei einer gleichzeitigen Änderung des Achsenabschnitts führt zu einer parallen Verschiebung einer Geraden. Dies wird in der nebenstehenden Grafik demonstriert. Sinkt das Budget, dann verschiebt sich die Budgetgerade nach unten ($M\downarrow \rightarrow {\tfrac {M}{p_{y}}}\downarrow$). Steigt das Budget, ergibt sich eine Parallelverschiebung nach oben ($M\uparrow \rightarrow {\tfrac {M}{p_{y}}}\uparrow$).

Preisveränderungen ändern dagegen die Steigung der Bugetgeraden.

Ändert sich nur der Preis des Gutes x, dreht sich die Budgetgerade im Achsenabschnitt.

Ändert sich nur der Preis von Gut x (bei unverändertem Budget und gleichem Preis von y), dann ergibt sich eine Drehung der Budgetgeraden im Achsenabschnitt, da ${\tfrac {M}{p_{y}}}$ davon unberüht bleibt. Dies hat auch eine einfache intuitive Erklärung. Wenn ein Individuum im Extremfall nur das Gut y konsumiert, dann bleibt es natürlich von einer Preisänderung des Gutes x völlig unberührt und kann so viele Einheiten von y konsumieren wie zuvor. Steigt der Preis von Gut x wird die Budgetgerade steiler und dreht sich somit nach innen ($p_{x}\uparrow \rightarrow {\tfrac {p_{x}}{p_{y}}}\uparrow$). Das Individuum kann sich bei gleicher Menge y nun weniger von Gut x leisten. Umgekehrt wird die Geradensteigung flacher, wenn der Preis von Gut x fällt. Die Budgetgerade dreht sich in diesem Fall nach außen. Das Individuum kann sich nun bei gleicher Menge y nun mehr von Gut x leisten.

Ändert sich nur der Preis des Gutes y, dreht sich die Budgetgerade in der Nullstelle.

Ändert sich nur der Preis von Gut y (bei unverändertem Budget und konstantem Preis von x), dann ergibt sich eine Drehung der Budgetgeraden in der Nullstelle. Steigt der Preis von Gut y wird der Achsenabschnitt kleiner, die Budgetgerade wird flacher und dreht sich somit nach unten ($p_{y}\uparrow \rightarrow {\tfrac {p_{x}}{p_{y}}}\downarrow$). Umgekehrt wird die Geradensteigung steiler, wenn der Preis von Gut y fällt. Der Achsenabschnitt erhöht sich und die Budgetgerade dreht sich in diesem Fall nach oben.

Das Haushaltsoptimum

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Dualitätstheorie

Die Marshall'sche Nachfrage

In vielen ökonomischen Anwendungen wird die Frage zu beantworten sein, wie Preisveränderungen (z.B. durch eine Steuer) sich auf den optimalen Konsumplan und die Wohlfahrt der Beteiligten auswirken. Anstatt nun für jedes neue Preisniveau den Lagrange-Ansatz neu durchzuführen, empfiehlt es sich, das Optimierungsprogramm ganz allgemein für beliebige Preise $p_{x}$ und $p_{y}$ und ein beliebiges Budget $M$ aufzustellen und durchzurechnen.

Nehmen wir erneut die Nutzenfunktion aus Beispiel xxx: $U=x\cdot y$. Dann lautet das Optimierungsprogramm für diese Funktion ganz allgemein:

$\max _{x,y}\qquad U=x\cdot y$

${\mbox{u.B.d.N.}}\quad M=p_{x}x+p_{y}y$

Dies führt zu folgender Lagrange-Funktion:

${\mathcal {L}}=x\cdot y+\lambda (M-p_{x}x-p_{y}y)$

Diese Funktion müssen wir nun nach unseren beiden strategischen Parametern x und y sowie nach dem Lagrange-Multiplikator ableiten und diese Ableitungen gleich Null setzen. Damit lauten die drei Bedingungen erster Ordnung (first order conditions):

${\begin{aligned}(1)\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=&y-\lambda p_{x}{\stackrel {!}{=}}0\qquad \quad \rightarrow \lambda ={\frac {y}{p_{x}}}\\(2)\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}=&x-\lambda p_{y}{\stackrel {!}{=}}0\qquad \quad \rightarrow \lambda ={\frac {x}{p_{y}}}\\(3)\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}=&M-p_{x}x-p_{y}y{\stackrel {!}{=}}0\\\end{aligned}}$

Aus (1) und (2) folgt durch Gleichsetzen ${\tfrac {y}{p_{x}}}={\tfrac {x}{p_{y}}}$. Dieser Ausdruck lässt sich nun sowohl nach x als auch nach y auflösen. Wir lösen zunächst nach y auf und erhalten:

$y={\frac {x}{p_{y}}}\cdot p_{x}$

Diese Beziehung zwischen y und x lässt sich nun in die dritte Gleichung (=Budgetbedingung) einsetzen:

$M=p_{x}x+p_{y}\underbrace {\color {Blue}{\frac {x\cdot p_{x}}{p_{y}}}} _{=y}$

Umgeformt und aufgelöst nach x erhalten wir das erste zentrale Zwischenergebnis:

$x^{*}={\frac {M}{2p_{x}}}$

Da die Beziehung aus dem Optimierungsprogramm hergeleitet worden ist, gibt uns x* nun an, wie die nutzenmaximierende Nachfrage nach dem Gut x von dem verfügbaren Budget M und allen Preisen auf dem Markt abhängt. Dies wird als Marshall’sche Nachfrage (oder auch unkompensierte Nachfrage) bezeichnet und, dem englischen Ausdruck demand entsprechend, mit $D_{x}(p,M)$ abgekürzt, wobei p für den Preisvektor $(p_{x},p_{y})$ steht.

Noch einmal von ${\tfrac {y}{p_{x}}}={\tfrac {x}{p_{y}}}$ ausgehend, lösen wir nun nach x auf, um die Marshall’sche Nachfrage für Gut y herzuleiten. Es folgt:

$x={\frac {y}{p_{x}}}\cdot p_{y}$

Einsetzen in die Budgetgleichung ergibt:

$M=p_{x}\underbrace {\color {Blue}{\frac {y\cdot p_{y}}{p_{x}}}} _{=x}+p_{y}y$

Damit erhalten wir die Nachfrage nach y im optimalen Konsumplan (=Marshall’sche Nachfrage):

$y^{*}=D_{y}(p,M)={\frac {M}{2p_{y}}}$

Die indirekte Nutzenfunktion

Da die optimalen Konsummengen von x und y bekannt sind, lässt sich nun sofort errechnen, welchen maximalen Nutzen ein Individuum mit der direkten Nutzenfunktion $U=xy$ erreichen kann, gegeben alle Preise auf dem Markt und das verfügbare Budget M. Dieser maximale Nutzenwert V(p,M) in Abhängigkeit vom Budget und den Preisen wird als indirekte Nutzenfunktion bezeichnet. Mathematisch erhalten wir ihn, indem wir die optimalen Konsummengen $D_{x}(p,M)$ und $D_{y}(p,M)$ in die direkte Nutzenfunktion einsetzen.

${\begin{aligned}V(p,M)&=U[D_{x}(p,M),D_{y}(p,M)]\\&=\underbrace {\frac {M}{2p_{x}}} _{=x}\cdot \underbrace {\frac {M}{2p_{y}}} _{=y}={\frac {M^{2}}{4\cdot p_{x}\cdot p_{y}}}\end{aligned}}$

Aus diesem Ausdruck wird auch klar, woher die Bezeichnung indirekte Nutzenfunktion herrührt. Es ist offensichtlich, dass niemand von Preisen und einem Geldbetrag M glücklich wird, sondern der Nutzen sich nur aus den Gütern ergibt, die damit erworben und konsumiert werden können. Das Nutzenmaximum wird hier also –im Gegensatz zur direkten Nutzenfunktion- nicht über die konsumierten Gütermengen, sondern indirekt über das Budget und die Preise berechnet.

Der Vorteil des Konzepts der indirekten Nutzenfunktion liegt auf der Hand, wenn wir unsere Vorgehensweise mit derjenigen in Beispiel xxx vergleichen...

Die Hick'sche Nachfrage

Der Begriff Dualität entspringt der Tatsache, dass ein Individuum auf zwei Wegen optimieren kann: es kann entweder seinen Nutzen maximieren, während es ein vorgegebenes Budget einhalten muss, oder es kann seine Ausgaben minimieren, die nötig sind, um ein vorgegebenes Nutzenniveau zu erreichen.

Den ersten Weg haben wir beschritten, um die indirekte Nutzenfunktion herzuleiten. Für den zweiten Weg ist folgendes Minimierungsproblem zu lösen:

$\min _{x,y}\qquad m=p_{x}x+p_{y}y$

${\text{u.B.d.N.}}\quad x\cdot y={\bar {U}}$

Die Zielfunktion, die es zu minimieren gilt, ist also die Ausgabengleichung (=Summe aller Gütermengen mal ihre Preise). Die Nebenbedingung fordert in diesem Fall, dass das Individuum mit der direkten Nutzenfunktion $U=x\cdot y$ das vorgegebene Nutzenniveau ${\bar {U}}$ erreicht. Die dazugehörige Lagrange-Funktion lautet:

${\mathcal {L}}=p_{x}\cdot x+p_{y}\cdot y+\lambda ({\bar {U}}-x\cdot y)$

Dies ergibt die First Order Conditions:

${\begin{aligned}(1)\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial x}}=&p_{x}-\lambda y{\stackrel {!}{=}}0\\(2)\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial y}}=&p_{y}-\lambda x{\stackrel {!}{=}}0\\(3)\ {\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial \lambda }}=&{\bar {U}}-x\cdot y{\stackrel {!}{=}}0\end{aligned}}$

Aus (1) und (2) folgt nun ${\tfrac {x}{p_{y}}}={\tfrac {y}{p_{x}}}$, was wir wiederum nach x und nach y auflösen:

$y={\frac {x\cdot p_{x}}{p_{y}}}$

Diese Beziehung im Optimum setzen wir in unsere Nebenbedingung (3) ein und erhalten:

${\bar {U}}=x\cdot {\color {Blue}{\frac {x\cdot p_{x}}{p_{y}}}}=x^{2}\cdot {\frac {p_{x}}{p_{y}}}$

was nach x aufgelöst folgendes ergibt:

$x^{*}={\sqrt {\bar {U}}}\cdot {\sqrt {p_{y}/p_{x}}}$

Diese Beziehung gibt an, wieviel von Gut x bei den herrschenden Preisen nachgefragt werden muss, um ein bestimmtes Nutzenniveau \bar{U} optimal (=ausgabenminimal) zu erreichen. Dies wird als kompensierte oder auch Hick'sche Nachfrage bezeichnet und mit $H_{x}(p,{\bar {U}})$ abgekürzt. Der Begriff kompensierte Nachfrage leitet sich aus der Tatsache ab, dass das verfügbare Budget bei der Betrachtung keine Rolle spielt und es nur darauf ankommt, dass das vorgegebene Nutzenniveau ${\bar {U}}$ mit den Konsumgütern erreicht wird. Dies bedeutet, dass es im Falle einer Preiserhöhung zu einer fiktiven finanziellen Kompensation kommt, die sicherstellt, dass auch bei den höheren Preisen der ursprüngliche Nutzen erreicht wird. Damit ist die kompensierte Nachfrage ein reines, aber dennoch sehr nützliches Gedankenkonstrukt, da wir in den seltensten Fällen für beispielsweise eine Benzinpreiserhöhung mit einer Lohnerhöhung kompensiert werden. Im Gegensatz dazu steht die unkompensierte (Marshall'sche) Nachfrage, die die Nachfrage abhängig von dem festen Budget M und den Preisen abbildet und am Markt beobachtet werden kann.

Analog können wir die Hick'sche Nachfrage für Gut y herleiten, indem wir ${\tfrac {x}{p_{y}}}={\tfrac {y}{p_{x}}}$ nach x auflösen und dann in die Nebenbedingung einsetzen.

$y^{*}=H_{y}(p,{\bar {U}})={\sqrt {\bar {U}}}\cdot {\sqrt {p_{x}/p_{y}}}$

(Bei der einfachen Nutzenfunktion, die wir unterstellen, sind Hx und Hy quasi spiegelbildlich. Dies ist aber kein allgemeines Gesetz und ergibt sich bei manchen anderen Nutzenfunktionen nicht.)

Die Ausgabenfunktion

Die Ausgaben, die mit dieser optimalen Nachfrage h*(ū,p) anfallen, werden mit Hilfe der Ausgabenfunktion e(ū,p) dargestellt: ph*(ū,p) = e(ū,p).

Diese Ausgabenfunktion ist die Budgetgerade, die das angestrebte Nutzeniveau ū kostenminimal erfüllt, und damit die Budgetgerade der optimalen Lösung.