Himmelsgesetze der Bewegung/ Trägheitsmoment, Drehimpuls(-Erhaltung) und die keplerschen Gesetze

Trägheitsmoment

Man sagt in Physik, dass die Masse ein Maß der Trägheit eines Körpers ist. Die Masse ist immer positiv. Was könnte die entsprechende Größe bei einer Rotation sein?

Bei einer Rotation ist die -sagen wir es so- „Träge“ der Bewegung sowohl von der Masse m abhängig als auch vom Abstand R der Masse von Mittelpunkt der Kreisbewegung. Je weiter eine Masse vom Mittelpunkt ist, desto schwerer ist es die Drehbewegung zu stoppen. Das ist etwas, dass mit unserer Alltagserfahrung zu tun hat.

Die Größe aber, die der Masse entspricht und wir Trägheitsmoment I nennen werden, muss genauso wie die Masse immer positiv sein. Wenn die Formel für das Trägheitsmoment I = m R wäre, könnte I auch negativ sein (weil R auch negative Werte nehmen kann). Daher macht es Sinn, wenn die Formel doch

I = m · R²

ist. Die zur Masse entsprechende Größe bei einer Rotation nennt man Trägheitsmoment. Ihr Symbol ist I und die Einheit kg·m².

Drehimpuls

Die zum Impuls entsprechende Größe bei einer Rotation ist der Drehimpuls L. Die Formel für den Impuls ist: p = m · v Um den Drehimpuls (L) zu definieren braucht man einfach die zur Masse und Geschwindigkeit entsprechenden Größen für die Rotation, also Trägheitsmoment (I) mal Winkelgeschwindigkeit (ω):

L = I · ω

Man benutzt oft auch die Buchstabe J für den Drehimpuls. Seine Einheiten sind kg · m²/s.

Drehimpulserhaltung

Bei einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtdrehimpuls erhalten.

L = I · ω = konstant

Wenn man in der Formel für den Drehimpuls, das Trägheitsmoment durch seine Formel ersetzt, bekommt man:

L = m · R² · ω

Dass der Drehimpuls erhalten bleibt, kann man dann mit Hilfe dieser Formel und Beobachtungen aus dem Alltag verstehen, z.B. bei einer Eistänzerin. Wenn sie sich um sich dreht (Pirouette), bringt sie ihre Arme näher zum Körper und dann dreht sie sich schneller. Wenn man die letzte Formel sieht, hat sich in Bezug auf diesem Phänomen nur der Abstand der Arme vom Mittelpunkt der Rotation geändert, also R. Die Masse m bleibt unverändert. Damit aber dann der Drehimpuls erhalten bleibt, muss in der Formel ω, also die Winkelgeschwindigkeit, größer werden. Das ist genau unsere Beobachtung!

Die keplerschen Gesetze

Wie wir gesehen haben, hat Johannes Kepler die lebenslangen Beobachtungen von Tycho Brache benutzt um ein heliozentrisches Weltbild zu entwickeln. Dieses wurde weiter von den Beobachtungen von Galileo Galilei unterstützt. Mit Hilfe dieser Daten hat Kepler folgende drei (nach ihm genannten) Gesetze festgestellt:

1. Die Planeten bewegen sich auf einer Ebene (für alle Planeten geht es fast um die gleiche Ebene) um die Sonne herum und ihre Bahnen sind elliptisch mit der Sonne in einem Brennpunkt der Ellipse.
2. Die tragende Strecke zwischen Sonne und Planet verstreicht die gleiche Ebene in der gleichen Zeit.
3. Das dritte Potenz der großen Halbachse der jeweiligen Ellipse ist direkt proportional zum Quadrat der entsprechenden Periode einer Drehung.

Das zweite Gesetz stimmt mit dem Drehimpulserhaltungssatz überein. Tatsächlich, nach diesem Satz muss die Bahn (und Winkel) -geschwindigkeit desto größer sein, je näher der Planer zur Sonne ist. Damit die tragende Strecke die gleiche Ebene in der gleichen Zeit verstreicht, muss das auch so sein. Man sollte daher eine Erhaltungsformel für das Produkt v · R (oder Potenzen von diesen Variablen) finden können. Probieren wir es.

Wie bei allen Rotationen gilt auch bei der Kreisbewegung der Erde um die Sonne der Drehimpulserhaltungssatz:

L = I · ω = konstant

und aus der Formel

v=ω·R

folgt

ω=v/R

Zum Beispiel, wenn L_P der Drehimpuls beim Perihel und L_A beim Aphel ist, dann gilt:

L_P = L_A $\Leftrightarrow$ I_P · ω_P = I_A · ω_A $\Leftrightarrow$ m· R_P² · ω_P = m· R_A² · ω_A $\Leftrightarrow$ m· R_P² · v_A /R_P = m· R_A² · v_A /R_A $\Leftrightarrow$

v_P · R_P = v_A · R_A

Bei einer Rotation eines Massenpunkts gilt also allgemein:

v · R = konstant!

Die keplerschen Gesetze als auch, dass dieses Ergebnis genau mit dem 2. Gesetz übereinstimmt, kann man nur mit höherer Mathematik beweisen (und ist daher nicht Objekt dieses Buchs).