Himmelsgesetze der Bewegung/ Schwarzschildradius

Schwarzschildradius definieren

Wie die Formel für die Fluchtgeschwindigkeit zeigt, wird für einen bestimmten Radius die Fluchtgeschwindigkeit desto größer, je größer die Masse des Himmelkörpers ist (nicht direkt proportional). Irgendwann ist die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit. Es gilt also:

Bei einem bestimmten Wert von Masse und Radius ist die Fluchtgeschwindigkeit so groß wie die Lichtgeschwindigkeit.

Wenn die Fluchtgeschwindigkeit größer als die Lichtgeschwindigkeit ist, dann kann nicht einmal das Licht dem Himmelkörper entgehen. Einen Himmelskörper mit dieser Eigenschaft nennt man Schwarzes Loch.

Für eine bestimmte Masse gibt es daher auch einen bestimmten Radius, für den die Fluchtgeschwindigkeit so viel wie die Lichtgeschwindigkeit ist. Diesen Radius nennt man Schwarzschildradius (nach dem Physiker, der ihn berechnet hat).

Wenn eine Masse sich innerhalb einer Kugel befindet, deren Radius kleiner als der Schwarzschildradius ist, dann kann nicht mal das Licht dieser Masse entgehen, es entsteht also ein Schwarzes Loch. Diesen Satz kann man als Definition des Schwarzschildradius betrachten.

Dieser Satz setzt voraus, dass die Masse auf das Licht wirken kann und umgekehrt (Wechselwirkung zwischen Masse und Licht). Einstein war der erste, der eine Theorie entwickelt hat, die so eine Wechselwirkung voraussieht (Allgemeine Relativitätstheorie). Diese Theorie wurde ziemlich bald mit Experimenten bestätigt, ein bahnbrechender Moment in der Geschichte der modernen Physik.

Schwarzschildradius in Abhängigkeit von der Masse berechnen

Da der Schwarzschildradius mit der Fluchtgeschwindigkeit zusammenhängt, muss man mit ihrer Formel anfangen, um den Schwarzschildradius zu berechnen.

$v_{F}={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot m_{2}}{R}}}$

Den Schwarzschildradius R_S rechnet man für die Lichtgeschwindigkeit c als Grenzfluchtgeschwindigkeit. Wir setzen daher c für v_F ein. Für die Masse des Himmelskörpers benutzt man oft das Symbol M statt m₂. Wir schreiben also M statt m₂ und formen um:

$c={\sqrt {\frac {2\cdot G\cdot M}{R_{S}}}}$

$R_{S}(M)={\frac {2\cdot M\cdot G}{c^{2}}}$         Schwarzschildradius in Abhängigkeit von der Masse

Um den Schwarzschildradius zu berechnen, braucht man eigentlich die Relativitätstheorie. Die tatsächlichen Berechnungen sind zwar komplizierter, haben aber das gleiche Ergebnis.

Schwarzschildradius für die Masse der Sonne

Für jede Masse ist dann der Schwarzschildradius bestimmt, da er in dieser Formel nur von der Masse abhängt. Wenn man z.B. den Schwarzschildradius für die Masse der Sonne M_⊙ ≈ 2 ∙ 10³⁰ kg berechnen will, setzt man einfach diese Masse in die Formel ein:

$R_{S}(M_{\odot })={\frac {2\cdot M_{\odot }\cdot G}{c^{2}}}={\frac {2\cdot 2\cdot 10^{30}\cdot 6,67\cdot 10^{-11}}{(3\cdot 10^{8})^{2}}}\approx 3\cdot 10^{3}m$

Man darf hier wieder nicht vergessen, dass die Werte für SI Einheiten eingesetzt werden müssen, also für die Lichtgeschwindigkeit schreibt man dann 3 · 10⁸ m/s.

Im Ergebnis können wir ablesen: Wenn die ganze Masse der Sonne innerhalb einer Kugel mit Radius kleiner als ca. 3 km konzentriert wäre, wäre die Sonne ein schwarzes Loch. Der Radius der Sonne ist aber in der Tat ca. 7 · 10⁸ m, also viel mehr, daher kann sowohl das Licht, als auch sogar Teilchen der Sonne uns erreichen (und mit Energie versorgen!).

Schwarzschildradius in Abhängigkeit von der Dichte berechnen

Wenn man in der Literatur über Schwarze Löcher liest, bekommt man oft den Eindruck, dass diese Objekte nur eine ganz große Dichte haben können. Man kann aber die Formel für den Schwarzschildradius entsprechend umformen und stellt fest, dass (zumindest theoretisch) ein Schwarzes Loch doch eine kleinere Dichte haben kann (sogar so klein wie möglich, wenn es groß genug ist). Dafür benutzt man einfach die Formel für die Dichte ρ und die Formel für das Volumen V_K einer Kugel. Da wir jetzt die Masse M eines Himmelskörpers und das Volumen V_K einer Kugel mit dem Radius des Schwarzschildradius R_S meinen, werden wir in der Formel für die Dichte (Masse durch Volumen) statt m M, statt V V_K und in der Formel für das Volumen R_S für den Radius benutzen.

$\rho ={\frac {M}{V_{K}}}\Leftrightarrow M=\rho \cdot V_{K}$         $V_{K}={\frac {4\cdot \pi \cdot R_{S}^{3}}{3}}$

M: Masse des Himmelkörpers

V_K: Volumen einer Kugel

R_S: Radius einer Kugel

Setzen wir erst in die Formel für den Schwarzschildradius die hier nach M umgeformte Formel für die Dichte und dann die Formel für das Volumen einer Kugel ein:

$R_{S}={\frac {2\cdot M\cdot G}{c^{2}}}={\frac {2\cdot \rho \cdot V_{K}\cdot G}{c^{2}}}={\frac {2\cdot \rho \cdot 4\cdot \pi \cdot R_{S}^{3}\cdot G}{3\cdot c^{2}}}$

Nach kurzem Umformen bekommt man

$R_{S}(\rho )={\sqrt {\frac {3\cdot c^{2}}{8\cdot \pi \cdot G\cdot \rho }}}$         Schwarzschildradius in Abhängigkeit von der Dichte

Die einzige unabhängige Variable hier ist die Dichte. Wie man der Formel ablesen kann, ist der Radius desto größer, je kleiner die Dichte ist (obwohl indirekt proportional nur zur Wurzel der Dichte). Man könnte sich daher ganz theoretisch ein riesiges Schwarzes Loch mit geringerer Dichte vorstellen. In Wirklichkeit ist aber nach dem heutigen Stand der Wissenschaft die Bildung eines so „dünnen“ und riesigen Schwarzen Loches nicht möglich.

Ein Schwarzes Loch mit der Dichte des Wassers

Als Gedankenexperiment könnte man den Schwarzschildradius für einen Körper mit der Dichte des Wassers berechnen. Nochmals sei darauf hingewiesen, dass man die SI-Einheiten richtig einsetzen muss. Die Dichte des Wassers ist 1 kg pro Liter (man kann an eine Flasche Wasser denken), also 10³ kg/m³.

$R_{S}(\rho )={\sqrt {\frac {3\cdot {(3\cdot 10^{8})^{2}}}{8\cdot \pi \cdot 6,67\cdot 10^{-11}\cdot 10^{3}}}}$

Das Ergebnis ist ca. 1/24000 eines Lichtjahres oder das 50fache des Radius eines Roten Riesen (Phase im Leben eines Sterns), also nicht gerade viel für astronomische Zusammenhänge!

Ist das Universum ein Schwarzes Loch?

Das Universum ist wirklich sehr groß. Die Frage liegt nahe, ob vielleicht das ganze Universum doch ein Schwarzes Loch sein könnte. Der für den heutigen Stand der Wissenschaft geltende Wert für die mittlere Dichte des Universums ist ca.

ρ_U = 4,7 · 10^-27 kg/m³

Wenn wir diesen Wert in die Formel ${\sqrt {\frac {3\cdot c^{2}}{8\cdot \pi \cdot G\cdot \rho }}}$ einsetzen, dann finden wir den Schwarzschildradius R_{SU} für das Universum:

R_{SU} ≈ 2 · 10²⁶ m

Nach den geltenden Theorien kann man das Universum bis in eine gewisse Entfernung beobachten ( Ereignishorizont des Weltalls). Diese liegt bei ca. 16 bis 40 Milliarden Lj. Also ca.

16 bis 40 · 10⁹ · 9,5 · 10¹⁵ ≈ 1,6 bis 4 · 10²⁶ m

Folgerung: Obwohl wir es vielleicht nie beobachten werden, ist es nicht auszuschließen, dass unser Universum ein Schwarzes Loch ist!