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Division
BearbeitenDefinition der Division
BearbeitenRechenart | Ausgedrückt als | Symbol | Namen der Teile | Name des Ergebnisses |
---|---|---|---|---|
Division | durch | : (÷, /) | 84 : 7 = | 12 |
(dividieren, teilen) | Dividend : Divisor = | Quotient |
Einfache Division mit Hilfe der Einmaleins-Tabelle
BearbeitenMit diesem Vorgang kann man Divisionen durchführen, wenn der Divisor höchstens (also kleiner oder gleich) 10 ist und der Dividend höchsten das 10-fache des Divisors (also wenn der Divisor 4 ist, höchsten 40, wenn der Divisor 7 ist, höchstens 70 und so weiter.)
Es gibt einen Rest. Diesen berechnen wir dann: 3 mal 5 = 15 und 17−15=2 also 17 : 5 = 3 mit Rest 2 Man schreibt: 17:5=3 R 2 |
Der Haupt(vor)gang
BearbeitenDer Vorgang der Division, wenn der Dividend eine größere Zahl ist, kann durch vier Schritte beschrieben werden:
- ↓ Ziffer runter (ganz links anfangen)
- ÷ was runter steht durch den Divisor dividieren (mit Hilfe der Einmaleinstabelle)
- × das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizieren
- − dieses Produkt von dem, was "runter steht" subtrahieren. So berechnet man den Rest der Division (Schritt 2)
So einen Vorgang nennt man in Mathematik (und nicht nur) Algorithmus. Die vier Schritte (↓ ÷ × –) werden wiederholt (so was nennt man Iteration). Wenn der Rest null ist und es kein Ziffer mehr am Dividend gibt, dann hört man auf. Es gibt aber auch die Möglichkeit, dass der Rest nie Null wird. Dieser Fall wird später erklärt.
Am besten versteht man den Vorgang durch ein Beispiel (um ihn zu lernen, muss man selbstverständlich üben...). Probieren wir 792:3 zu berechnen:
Jetzt wird der Vorgang wiederholt! | |||
Jetzt wird der Vorgang noch mal wiederholt! | |||
Das ganze in einer Animation:
Was aber man in der Tat schreibt, sieht doch anders aus! Man schreibt nur gewisse Schritte, der Rest macht man im Kopf oder als Nebenrechnung am Rand. Hier die Schritte, wie sie tatsächlich geschrieben werden:
und die entsprechende Animation:
Ein letztes Beispiel:
und die entsprechende Animation:
In diesem Fall sagt man, dass 842 durch 5 gleich 168 mit Rest 2 ist. Man schreibt 842:5=168 R 2. Der Rest muss allerdings immer kleiner als der Divisor sein (auch in den Zwischenschritten), sonst hat etwas nicht richtig geklappt. Die Division kann man allerdings weiterführen, wie wir bald lernen werden.
Dividend mit Nullen am Ende
BearbeitenWenn der Dividend Nullen am Ende hat, kann man sich ein paar Schritte sparen. Schauen wir ein Beispiel:
Schauen wir jetzt, wie die richtige Regel lautet:
Man kann also die Division aufhören und die restlichen Nullen erst dann schreiben, wenn der Rest zum ersten Mal Null ist!
Wenn der Divisor auch Nullen am Ende hat, kann man vom beiden Divisor und Dividend so viele Nullen streichen, wie die Nullen des Divisors und erst dann die Division durchführen. Beispielsweise ist 7910000:400=79100:4 (in beiden Fällen ist das Ergebnis 19775). Warum das so ist, kann man erst verstehen, wenn man das Kürzen von Brüchen gelernt hat, daher lernen wir es hier zunächst einmal einfach so, als Regel...
Null in der Mitte des Ergebnisses
BearbeitenNull am Anfang des Ergebnisses
BearbeitenDividend mit Komma (einfach)
BearbeitenWas ist, wenn der Divident schon Nachkommastellen hat? In diesem Fall wird die Division, wie wir sie bisher gelernt haben, mit einer Änderung durchgeführt: Wenn zur nächsten Ziffer nach dem Komma gesprungen werden muss, dann muss man erst ein Komma im Ergebnis schreiben. In unserem Fall ist es nicht wenn man die Ziffer 9 im Dividend erreicht. Das Komma muss geschrieben werden, erst bevor man die nächste Ziffer nach dem Komma (hier die Ziffer 2) runter bringen muss. Erst dann schreibt man das Komma und dann macht man die Rechnung (12:3) und dann schreibt man das Ergebnis dieser Rechnung (4) nach dem Komma. Es gibt kein anderes Komma in der Zahl (also auf gar keinen Fall irgendwo ein zweites Komma schreiben). Eine Bemerkung noch: Den letzten Rest haben wird hier mit (R) in Klammern geschrieben. Den Begriff Rest benutzt man eigentlich bei ganzzahligen Divisionen (mit Zahlen ohne Nachkommastellen)[1]. 0 ist hier der Teilrest der letzten Teildivision (12:4=3 R 0). Wenn bei einer Division mit Nachkommastellen im Ergebnis Teilrest 0 hat, kann man mit der Division aufhören. Das ist allerdings nur selten der Fall, wie wir gleich lernen werden. |
Divisor mit Komma (einfach)
BearbeitenWas ist, wenn der Divisor Nachkommastellen hat, wie zum Beispiel in 236,2875:0,5? In diesem Fall wird das Komma sowohl im Divisor als auch im Dividenden so oft nach rechts verschoben, bis der Divisor keine (notwendige) Kommastelle mehr hat. In unserem Beispiel, wenn das Komma im Divisor (0,5) ein Mal nach rechts verschoben wird, bekommt man die Zahl 5, die keine Nachkommastellen hat. Das Komma wird dann auch im Dividenden (236,2875) ein Mal nach rechts verschoben (also der neue Dividend wird 2362,875 sein). Mit diesen neuen Zahlen kann man die Division ganz normal fortführen, wie im Bild am Rand. Der Prozess ist also:
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Was ist, wenn der Dividend keine Nachkommastellen hat, beispielsweise 205:0,04?
In diesem Fall denkt man, dass ein Komma am Ende des Dividenden steht, und schreibt so viele Nullen wie notwendig nach dem Komma: 205=205,00 (allerdings gilt auch 205=205,00000 und so weiter). Dann wird der Vorgang wie vorher durchgeführt:
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Ein letztes Beispiel: 205:0,0004. Hier muss man das Komma sogar viermal verschieben:
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Dividend ohne Komma, Ergebnis mit Komma (nicht periodisch)
BearbeitenDividend ohne Komma, Ergebnis mit Komma (periodisch)
BearbeitenBisher war es fast immer in den Beispielen so, dass der Teilrest am Ende Null war. Das war kein Zufall, die Beispiele wurden einfach so gewählt, damit sie verständlicher sind. In der Regel ist der Teilrest keine genaue Zahl. Probieren wir es mit dem folgenden Beispiel:
Kombinationen
BearbeitenHier finden wir ein paar weiterführende Beispiele zur Vertiefung der Kenntnissen.
Probieren wir erst die Division 3706,1:0,00007. Wenn der Divisor ein Komma hat (wie hier 0,00007), dann muss man das Komma sowohl im Divisor also auch im Dividenden so oft nach rechts verstellen, bis der Divisor keine Nachkommastellen mehr hat. Falls der Dividend dann nicht genügende Nachkommastellen hat, werden sie mit Nullen nachgefüllt. Daher ist 3706,1:0,00007 gleich so viel wie 370610000:7
3706,1:0,00007=370610000:7
Letztere Division führen wir auch im Bild durch. Wir fangen dann mit dem Hauptvorgang (in verkürzter Darstellung) an. Da die erste Stelle des Dividenden (3) kleiner als der Divisor ist, kann man weitere Ziffer des Dividenden benutzen (also 37), weil Nullen am Anfang des Ergebnisses (und nur dort) keine Rolle spielen. Diese zwei Stellen wurden mit Hellblau markiert. Da, wo die rote Stelle und der rote rechts-Pfeil im Bild ist, kann man weitere Nullen einführen, nachdem erst ein Komma im Ergebnis geschrieben wird (roter nach-oben-Pfeil und Komma im Ergebnis). Mit Lila (um dem Teildividenden 30) wird darauf aufmerksam gemacht, dass das Ergebnis doch periodisch ist (also der Teildividend 30 und alle andere Teildividenten, die nach ihm kommen, in der gleichen Reihe immer wiederholt vorkommen). Die Periode, wie im Ergebnis wieder mit Lila notiert, ist die Zifferfolge 428591.
Da man aber die Periode im Ergebnis erst nach dem Komma notiert wird, schreibt man nicht
(falsch), sondern
(richtig).
Im vorherigen Beispiel haben wir eine Division durch 11 gesehen. Da bestand die Periode aus zwei Ziffern (27). Im letzten Beispiel (Division durch 7) bestand die Periode aus sechs Ziffern (914285). Bei einer anderer Division (durch 4), gab es wieder keine Periode. Es kann also eine Periode geben oder nicht, und sie kann lang oder kurz sein. Im folgenden Beispiel (938:23) haben wir die Periode nicht mal angegeben, da sie schon aus 22 Ziffern(!) besteht. Es gibt einen Beweis dafür, dass wenn der Divisor und der Dividend ganze Zahlen sind (oder sein können), immer eine Periode entsteht (also eine wiederholte Reihenfolge von Ziffern nach dem Komma) oder ein Teilrest Null (also die Division kann aufhören). Diese Periode kann sehr lang sein, es gibt sie aber in diesem Fall immer.
Im folgenden Beispiel lernen wir allerdings auch dazu genauer, wie man die Division durchführt, wenn der Divisor größer als 10 ist. Wir haben schon eine solche Division gesehen, aber noch nicht erklärt, wie das funktioniert.
Grundsätzlich gibt es hier nichts Neues. Man soll wieder die Grundschritten durchführen:
- ↓ Ziffer runter (ganz links anfangen)
- ÷ was runter Steht durch den Divisor dividieren ("wie oft der Divisor in den Teildividenden hineinpasst")
- × das Ergebnis der Division mit dem Divisor multiplizieren
- − dieses Produkt von dem, was "runter steht" subtrahieren.
Nun aber werden diese Schritte irgendwo am Rand durchgeführt und jeweils unter dem Teildividenden das Ergebnis der Subtraktion am Ende geschrieben.
- Schritt ↓ Ziffer runter: Weil die erste Ziffer im Dividend (9) kleiner als der Divisor (23) ist, nehmen wir am Anfang die ersten zwei Ziffer des Dividenden (93)
- Schritt ÷ dividieren: 23 passt in 93 viermal hinein (das kann man allerdings bei größeren Zahlen nur raten und ausprobieren). Wie erste Ziffer des Ergebnisses wird daher 4 sein.
- Schritt × multiplizieren: Die letzte Ziffer des Ergebnisse (4) wird mit dem Divisor multipliziert: 4×23=92.
- Schritt − subtrahieren: Das Ergebnis der Multiplikation (92) wird aus dem vorläufigen Teildividenden (93) subtrahiert (93−92=1). Allein das Ergebnis der Subtraktion (hier 1) wird dann unter den Teildividenden geschrieben. Im Bild haben wir allerdings die zwei letzten Schritten am Rand links zusammengefasst (93−4×23=1).
Diese Schritte werden dann wiederholt, bis man irgendwann die Periode entdeckt. Hier haben wir allerdings schon ziemlich bald aufgehört (wie schon erwähnt, ist die Periode in diesem Beispiel sehr lang...).
Im folgenden Beispiel ist der Divisor wieder größer als 10, wir haben aber hier die Teilschritte des Hauptvorgangs (↓ ÷ × −) nicht am Rand geschrieben. Die Division lautet 4,52:1,3, man soll also erst das Komma verschieben: 4,52:1,3=45,2:13. Letztere Division wird im Bild gezeigt. Wieder muss man mit zwei Ziffern anfangen. Sofort nach der ersten Ziffer im Ergebnis muss man ein Komma schreiben (roter Pfeil). Und wieder gibt es eine Periode (wenn der Teildividend 100 wiederholt wird), die Ziffernfolge 769230. Die Periode besteht hier (wie bei der Division durch 7 am Anfang dieses Teilkapitels) aus sechs Ziffern. Also . Hier ist zu beachten, dass nicht alle Ziffern nach dem Komma die Periode sind! Die Periode fängt in diesem Fall erst nach der ersten Nachkommastelle an.
Wenn allerdings die Division 0,0452:13 durchgeführt wird, muss man im Ergebnis schon mit Null und Komma anfangen (Bild links)! Der Rest des Vorgangs bleibt unverändert. Vorsicht aber: in diesem Fall (wenn Komma schon am Anfang steht), darf man Nullen nicht auslassen! Die Periode allerdings fängt in diesem Fall noch weitere Stellen nach dem Komma an: .
Bei der Division 330,103:11 (links) finden wir noch ein paar Neuigkeiten. Die Periode besteht zwar wieder aus zwei Ziffern wie in der vorherigen Division durch 11, diesmal sind es aber die Ziffern 36 (und nicht 27). Es gibt in dieser Division einige Nullen dazwischen, die man selbstverständlich NICHT auslassen darf und dazu ein Komma unter diesen Nullen.
Bei der Division 391,204:11 (rechts) stellt man fest, dass die Division durch 11 sogar auch genau ausgehen kann (das stimmt ja für alle Divisoren, die ganzzahlig, also ohne Komma, sind). Wenn der Teilrest Null ist, ist der Vorgang fertig. Wann die Division durch bestimmte Zahlen genau aufgeht, lernt man im Kapitel über Teilbarkeit.
Im letzten Beispiel können wir sehen, dass die Periode auch nur eine Ziffer sein kann (hier 6). In diesem Beispiel fängt die Periode wieder erst an der dritten Nachkommastelle an. Man schreibt:
Punktrechnungen mit 10, 100, 1000 und so weiter
Bearbeiten- Wenn man eine Zahl mit 10, 100, 1000 und so weiter multipliziert, dann verschiebt sich das Komma der Zahl einfach nach rechts (die Zahl wird größer), so oft, wie es Nullen gibt:
- 3,45 · 10 = 34,5 (Mal 10; in 10 gibt es eine Null, Komma wird einmal nach rechts verschoben)
- 54 · 10000 = 54,0000 · 10000 = 540000 (Mal 10000; in 10000 gibt es vier Nullen, Komma wird 4 Mal nach rechts verschoben; Allerdings gibt es kein Komma am Ende der Zahl 54; man schreibt ein Komma am Ende der Zahl und dazu nach dem Komma so viele Nullen, wie man will, und schiebt dann das Komma)
- 0,008 · 100 = 0,8 (Mal 100; in 100 gibt es 2 Nullen, Komma wird 2 Mal nach rechts verschoben)
- Wenn man eine Zahl mit 10, 100, 1000 und so weiter dividiert, dann verschiebt sich das Komma der Zahl einfach nach links (die Zahl wird kleiner), so oft, wie es Nullen gibt:
- 3,45:10 = 0,345 (Durch 10; in 10 gibt es eine Null, Komma wird einmal nach links verschoben; allerdings gibt es links vor 3,4 keine Null, man schreibt also links von der Zahl so viele Nullen, wie man will, und schiebt dann das Komma)
- 54:10000 = 0,0054 (Durch 10000; in 10000 gibt es 4 Nullen, Komma wird 4 Mal nach links verschoben; allerdings gibt es links vor 54 kein Komma, man schreibt also links von der Zahl ein Komma und so viele Nullen, wie man will, und schiebt dann das Komma)
- 0,008:100 = 0,00008 (Durch 10; in 10 gibt es eine Null, Komma wird 1 Mal nach links verschoben; allerdings muss man zuerst am Ende der Kommazahl weitere Nullen schreiben)
- 900000:100 = 9000,00 = 9000 (Durch 100; in 100 gibt es 2 Nullen, Komma wird 2 Mal nach links verschoben; da es kein Komma am Ende der Zahl gibt, muss man erst das Komma schreiben)