Mathematrix: Vortrag/ Wachstum

Bevölkerungswachstum

China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn das Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums?

1. Jahr ${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{750 Millionen}}\\{}\\x_{1}\end{matrix}}$ $x_{1}=750\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=750\cdot 1{,}025=768{,}75\ {\text{Millionen}}$ 2. Jahr ${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{768,75 Millionen}}\\{}\\x_{2}\end{matrix}}$ $x_{2}=768{,}75\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=768{,}75\cdot 1{,}025=787{,}96875\ {\text{Millionen}}\$ $x_{2}=768{,}75\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025} ^{(=768{,}75)}\cdot 1{,}025\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}}$ $a\cdot a\cdot a=a^{3}\qquad \quad a\cdot a=a^{2}\qquad \quad$ $x_{2}=768{,}75\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025} ^{(=768{,}75)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}}$ 3. Jahr ${\begin{matrix}100\%\\\uparrow :\\102,5\%\end{matrix}}\quad {\begin{matrix}\cdots \cdots \\\swarrow \cdot \\\cdots \cdots \end{matrix}}\quad {\begin{matrix}{\text{787,97 Millionen}}\\{}\\x_{3}\end{matrix}}$ $x_{3}=787{,}97\cdot {\frac {102{,}5}{100}}=787{,}97\cdot 1{,}025\approx 807{,}67\ {\text{Millionen}}\$ $x_{3}=787{,}97\cdot 1{,}025=\overbrace {750\cdot 1{,}025^{2}} ^{(=787{,}97)}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{3}\approx 807{,}67\ {\text{Millionen}}$ $x_{1}=750\cdot 1{,}025^{1}{\text{ Millionen}}\qquad (=768{,}75\ {\text{Millionen}})$ $x_{2}=768{,}75\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 787{,}97\ {\text{Millionen}})$ $x_{3}=787{,}97\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{2}\cdot 1{,}025=750\cdot 1{,}025^{3}{\text{ Millionen}}\qquad (\approx 807{,}67\ {\text{Millionen}})$ $x_{50}=750\cdot 1{,}025^{50}{\text{ Millionen}}\approx 2577{,}83\ {\text{ Millionen}}$. So groß wäre die Bevölkerung Chinas nach 50 Jahren! $x_{500}=750\cdot 1{,}025^{500}{\text{ Millionen}}\approx 173\ {\text{Millionen von Millionen, }}$also Trillionen! China hatte im Jahr 1966 eine Bevölkerungsgröße von circa 750 Millionen Menschen. Das jährliche Wachstum lag bei circa 2,5%. Wie groß wäre die Bevölkerung im Jahr 2016, wenn das Wachstum gleich geblieben wäre? Was wären die Ergebnisse eines solchen Wachstums? $100\%+2{,}5\%=102{,}5\%={\frac {102{,}5}{100}}=1{,}025$ $x_{n}={\underset {\binom {Wert\ am}{Anfang}}{750}}\cdot {\underset {(Prozent)}{1{,}025}}^{n\quad \leftarrow ({\text{Anzahl der Wiederholungen, z.B. der Jahre}})}$ Formel(?): $E=A\cdot (1+P:100)^{n}$ Falscher Weg: $50\cdot 2{,}5\%=125\%,\qquad 100\%+125\%=225\%=2{,}25,$ $750\ Millionen\cdot 2{,}25=1687{,}5\ Millionen.$ Das ist allerdings falsch! 2,5% von 750 und 2,5% von 1200 (18,75 bzw. 30)

Radioaktiver Zerfall

Das Iod-Isotop 131I (wird in nuklear-medizinischen Therapie benutzt) zerfällt um 8,3% täglich. Wie viele Atome des Isotops bleiben nach 3 Wochen, wenn wir am Anfang 250000 Atome haben?

$100\%-8{,}3\%=91{,}7\%={\frac {91{,}7}{100}}=0{,}917$ $x_{n}={\underset {\binom {Wert\ am}{Anfang}}{250000}}\cdot {\underset {(Prozent)}{0{,}917}}^{n\quad \leftarrow ({\text{Anzahl der Wiederholungen, z.B. der Jahre}})}$ $3\cdot 7=21$ $x_{21}={250000}\cdot {0{,}917}^{21}\approx 40522Atome$