Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Zahlenmengen

Zur welchen Zahlenmengen gehören folgende Zahlen?
$\quad$	$\mathbb {N}$	$\mathbb {Z}$	$\mathbb {Q}$	$\mathbb {I}$	$\mathbb {R}$
$\textstyle {\frac {5}{13}}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$\textstyle {\frac {26}{13}}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$\textstyle -{\frac {\sqrt {5}}{13}}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
${\sqrt {7}}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$-{\sqrt {196}}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
${\sqrt {-4}}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
${\sqrt {169}}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$
$\textstyle -{\frac {26}{13}}$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$	$\quad$

Antwort:

• $\textstyle {\frac {5}{13}}\$ist eine Kommazahl, die sich allerdings als Bruch von ganzen Zahlen (5 und 13) ausdrücken lässt. Sie ist daher keine natürliche, keine ganze und keine irrationale Zahl, allerdings schon eine rationale und daher auch eine reelle Zahl.
• $\textstyle {\frac {26}{13}}\$ist doch gleich 2 und daher eine natürliche Zahl und daher auch eine ganze, eine rationale und eine reelle, allerdings keine irrationale Zahl.
• $\textstyle -{\frac {\sqrt {5}}{13}}\$ist zwar ein Bruch, er lässt sich allerdings nicht als Bruch von ganzen Zahlen ausdrücken, weil$\ {\sqrt {5}}\$keine rationale Zahl ist. Daher geht es hier um eine irrationale (und auch reelle) Zahl.
• ${\sqrt {7}}\$ist eine irrationale (und daher auch reelle) Zahl, da 7 keine Quadratzahl ist und ihre Wurzel nicht als Bruch von ganzen Zahlen ausdrücken lässt.
• $-{\sqrt {196}}\$ist eine ganze Zahl, da 196 eine Quadratzahl ist. Die Wurzel von 196 ist 14, eine natürliche Zahl, da wir aber auch ein Minus als Vorzeichen haben, ist die dargestellte Zahl keine natürliche Zahl mehr. Da$\ -{\sqrt {196}}\$eine ganze Zahl ist, wird sie auch eine rationale und eine reelle aber keine irrationale Zahl sein.
• ${\sqrt {-4}}\$ist in der Menge der reellen Zahlen nicht definierbar. Die Gegenrechnung von Wurzel ist das Quadrat und das Quadrat ist immer eine nicht negative Zahl, im Gegenteil zur Wurzelbasis hier:
  ${\sqrt {-4}}\ =a\quad \Rightarrow \quad -4=a^{2}=a\cdot a$
  Falls a negativ ist, wird sein Quadrat (minus mal minus) doch positiv sein, wenn a positiv ist, wird das Quadrat eben auch positiv sein. ein Quadrat kann nicht negativ sein. Daher gehört ${\sqrt {-4}}\$nicht zur Menge der reelen Zahlen.
  Da $\ {\sqrt {-4}}\$keine reelle Zahl ist, wird sie auch nicht zu den anderen Mengen hier gehören.
• ${\sqrt {169}}\$ist ja gleich 13, daher haben wir hier eine natürliche Zahl, die auch eine ganze, eine rationale und eine reelle aber keine irrationale Zahl ist.
• $\textstyle {\frac {26}{13}}\$ist ja gleich −2, also eine ganze und daher auch eine rationale und eine reelle aber keine irrationale Zahl.

Die Antwort wird daher wie in der folgenden Tabelle aussehen. Lass uns aber noch ein Beispiel davor sehen:

• $\textstyle {\frac {\sqrt {2{,}25}}{0{,}01}}$. In diesem Fall haben wir eine natürliche Zahl. Wenn man die Berechnungen durchführt, ist das Ergebnis $\textstyle {\frac {\sqrt {2{,}25}}{0{,}01}}=150$. Es ist also oft bei der Entscheidung über die Mengenzugehörigkeit hilfreich, die Berechnung erst durchzuführen.

$\quad$	$\ \ \ \ \mathbb {N} \ \ \ \$	$\ \ \ \ \mathbb {Z} \ \ \ \$	$\ \ \ \ \mathbb {Q} \ \ \ \$	$\ \ \ \ \ \mathbb {I} \ \ \ \ \$	$\ \ \ \ \mathbb {R} \ \ \ \$
$\textstyle {\frac {5}{13}}$	✘	✘	✔	✘	✔
$\textstyle {\frac {26}{13}}$	✔	✔	✔	✘	✔
$\textstyle -{\frac {\sqrt {5}}{13}}$	✘	✘	✘	✔	✔
${\sqrt {7}}$	✘	✘	✘	✔	✔
$-{\sqrt {196}}$	✘	✔	✔	✘	✔
${\sqrt {-4}}$	✘	✘	✘	✘	✘
${\sqrt {169}}$	✔	✔	✔	✘	✔
$\textstyle -{\frac {26}{13}}$	✘	✔	✔	✘	✔