Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Umformen in der ebenen Geometrie konkret

Der Umfang eines Quadrats ist 12cm. Berechnen Sie die Fläche!

In der Formelsammlung findet man die Formel für den Umfang eines Kreises:

$u=2\cdot {\pi }\cdot r$

wobei r der Radius ist. In der Aufgabe ist der Umfang gegeben, man braucht den Radius, der allerdings in der Aufgabe mit R (statt r) angegeben wird. Um zu überprüfen, ob die Formel von Mini stimmt, sollen wir einfach die Formel für den Umfang auf den Radius umformen. Somit werden wir auch die richtige Formel finden (falls die Formel von Mini falsch ist).

$u=2\cdot {\pi }\cdot R\quad |:2$

${u \over 2}={\pi }\cdot R\quad |:\pi$

${u \over {2\pi }}=R\quad |$ (Seiten tauschen)^[1]

$R={u \over {2\pi }}$

Somit haben wir festgestellt, dass die Formel von Mini falsch war. In der richtigen Formel steht die 2 im Nenner und nicht im Zähler.

↑ Wenn wir π auf die andere Seite bringen, dann haben wir: $\textstyle {u \over 2}:\pi =R$ , was gleichbedeutend ist, wie $\textstyle {u \over 2}\cdot {1 \over \pi }=R$ , was wiederum ${u \over {2\pi }}=R\$ bedeutet.

Begründen Sie, ob in einem Rechteck mit Umfang u und Breite b die Länge a mit der Formel: $a={\tfrac {2u-b}{2}}\$ berechnet werden kann.

In der Formelsammlung findet man die Formel für den Umfang eines Rechtecks:

$\qquad u=2a+2b$

wobei u der Umfang, a die Länge und b die Breite ist. In der Aufgabe ist der Umfang und die Breite gegeben. Um zu überprüfen, ob die Formel von Hans stimmt, sollen wir einfach die Formel für den Umfang auf die Länge umformen. Somit werden wir auch die richtige Formel finden (falls die Formel von Hans falsch ist).

$u=2a+2b\quad |-2b\$ (Der Term mit a, also 2a, muss erst allein auf einer Seite bleiben)

$u-2b=2a\quad |:2\$ (2 können wir jetzt auch als Nenner in einem Bruch schreiben)

${\frac {u-2b}{2}}=a\quad |$ (Seiten tauschen)

$\qquad a={\frac {u-2\cdot b}{2}}$

Somit haben wir festgestellt, dass die Formel von Hans falsch war. Die richtige Formel können wir allerdings auch anders schreiben:

$\qquad a={\frac {u}{2}}-b$

Begründen Sie, ob in einem Rechteck mit Umfang u und Diagonale d und Länge a die Breite b mit der Formel: $b={\sqrt {a^{2}+d^{2}}}\$ berechnet werden kann.

In der Formelsammlung findet man die Formel für die Fläche eines gleichseitigen Dreiecks:

$\qquad A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$

wobei u der Umfang, a die Länge und b die Breite ist. In der Aufgabe ist der Umfang und die Breite gegeben. Um zu überprüfen, ob die Formel von Susi stimmt, sollen wir einfach die Formel für den Umfang auf die Länge umformen. Somit werden wir auch die richtige Formel finden (falls die Formel von Susi falsch ist).

$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}\quad |\cdot 4$

$4A={\sqrt {3}}a^{2}\quad |:{\sqrt {3}}$

${\frac {4A}{\sqrt {3}}}=a^{2}\quad |{\sqrt {\ \ \ }}$

${\sqrt {\frac {4A}{\sqrt {3}}}}=a\quad$ (Seiten tauschen)

$a={\sqrt {\frac {4A}{\sqrt {3}}}}\quad$

Die Formel von Susi ist allerdings schon richtig:

${\sqrt {\frac {4A}{\sqrt {3}}}}={\sqrt {4\cdot {\frac {A}{\sqrt {3}}}}}={\sqrt {4}}\cdot {\sqrt {\frac {A}{\sqrt {3}}}}=2{\sqrt {\frac {A}{\sqrt {3}}}}$

[1] Wenn wir π auf die andere Seite bringen, dann haben wir: $\textstyle {u \over 2}:\pi =R$ , was gleichbedeutend ist, wie $\textstyle {u \over 2}\cdot {1 \over \pi }=R$ , was wiederum ${u \over {2\pi }}=R\$ bedeutet.

[1]