Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Pythagoras Satz in Trigonometrie Konkret

Die kleinere Kathete eines rechtwinkeligen Dreiecks ist 20 cm, die größere 2,1 dm. Wie viel ist der Tangens, der Sinus und der Kosinus des kleinsten Winkels? Wie groß ist dieser Winkel? Wie viel ist der Kosinus des anderen nicht rechten Winkels und wie groß der andere Winkel?

Um die trigonometrische Zahlen zu berechnen, brauchen wir
erst die Länge der Hypotenuse. In einem rechtwinkeligen Dreieck
mit c als Hypotenuse und a und b als Katheten gilt:

$c^{2}=a^{2}+b^{2}$

Sei a die kleinste Kathete, dann ist α der kleinste Winkel.
a= 20cm, b=2,1 dm = 21 cm

$c^{2}=a^{2}+b^{2}\ \rightarrow \ c^{2}=20^{2}+21^{2}\ \rightarrow \ c={\sqrt {841\ }}=29\ cm$

Für den Winkel α gilt laut Definition:

$\sin \alpha ={\frac {a}{c}}={\frac {20}{29}}\quad$, $\quad \cos \alpha ={\frac {b}{c}}={\frac {21}{29}}$

und $\quad \tan \alpha ={\frac {a}{b}}={\frac {20}{21}}$

Es gilt dazu:

$\sin \alpha ={\frac {20}{29}}\ \rightarrow \ \alpha =\arcsin {\frac {20}{29}}\approx 43{,}6^{\circ }$

Daher ist $\ \beta =90^{\circ }-\alpha \approx 46{,}4^{\circ }$

$\cos \beta \approx \cos 46{,}4\approx 0{,}690$

cosβ haben wir allerdings schon genau berechnet:
Er ist ja gleich so viel wie sinα, also: $\ \cos \beta ={\frac {20}{29}}$