Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Folgen

Die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks stellen ein arithmetische Folge dar. Eine Kathete ist $15\ cm$. Wie viel sind der Umfang, die Fläche und die Winkel des Dreiecks?

Bei Aufgaben sollen wir uns auf die Angabe konzentrieren und die gegebenen Sachen entdecken und in die mathematische Sprache umsetzten. Nehmen wir die Angabe von Anfang an: Die Seiten eines rechtwinkeligen Dreiecks.... Hier haben wir schon eine Information. Das Dreieck ist rechtwinkelig, daher gilt hier der Satz von Pythagoras:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

... stellen ein arithmetische Folge dar. Hier steckt die zweite Information. Nehmen wir an, dass die kleinste Kathete $15\ cm$ ist und nennen wir diese $a$. Sei $d$ die Differenz der arithmetischen Folge. Da $a$ die kleinste Kathete ist, wird b um $d$ größer sein und die Hypotenuse (die größte Seite) noch um $d$ größer:

$b=a+d,\quad c=b+d=a+2d$

Es gibt keine weitere Information, das Problem sollte mit diesen Informationen schon lösbar sein. Wir haben drei unbekannten und wir brauchen drei Gleichungen, die wir tatsächlich haben:

$a^{2}+b^{2}=c^{2},\quad b=a+d,\quad c=a+2d$

wobei $a=15\ cm$ ist. Setzen wir die zwei letzten Gleichungen in die erste ein, dann haben wir eine Gleichung mit einer Unbekannte:

$15^{2}+(15+d)^{2}=(15+2d)^{2}$

Das ist eine quadratische Gleichung. Mit einem Hilfsmittel oder mit Hilfe der Lösungsformel (etwas aufwendiger) können wir dann den Wert für $d$ finden:

$d_{1}=-15,\quad d_{2}=5$

Da $d=-15$ keinen physikalischen Sinn hat (, dann wäre $b=0,\ c=-15$ und es gibt ja keine "negative" Länge), ist die richtige Antwort $d=5\ cm$

Gefragt sind allerdings der Umfang, die Fläche und die Winkel, wir haben also die Aufgabe noch nicht gelöst. Wir haben allerdings schon den entscheidend Schritt gemacht. Für die restlichen Berechnungen sollen wir einfach die entsprechenden Formeln anwenden:

$b=a+d=20\ cm\$und $c=a+2d=25\ cm$

$u=a+b+c=60\ cm\quad A={\tfrac {1}{2}}a\cdot b=150\ cm^{2}$

$\alpha =\arcsin({\tfrac {15}{25}})\approx 36{,}87^{\circ },\quad \beta =90^{\circ }-\alpha \approx 53{,}13^{\circ }$

Wir sind allerdings noch nicht fertig. In der Angabe wird nicht klar gemacht, ob die $15\ cm$ lange Kathete die kleinste ist. Wir müssen also auch den Fall berechnen, bei dem die größere Kathete $15\ cm$ ist. In diesem Fall gilt:

$a=b-d,\quad c=b+d$

$15^{2}+(15-d)^{2}=(15+d)^{2}$

Die Ergebnisse in diesem Fall sind:

$a=11{,}25\ cm,\ c=18{,}75\ cm,\ u=45\ cm,\ A=84{,}375\ cm^{2},\$$\alpha \approx 37{,}81^{\circ },\ \beta \approx 52{,}19^{\circ }$