Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Direkte und indirekte Beweise

Vollständige Induktion

Quadratensummenformel

Wir zeigen erst einmal, dass, wenn diese Formel für eine zufällige natürliche Zahl m gilt, dann wird sie auch für m+1 gelten (also für die nächste natürliche Zahl). Wir nehmen also an, dass $\textstyle \sum _{k=1}^{m}k^{2}={\frac {m\cdot (m+1)\cdot (2m+1)}{6}}$ schon gilt. Wenn wir m durch m+1 ersetzen, bekommen wir die Formel:

$\sum _{k=1}^{m+1}k^{2}={\frac {(m+1)\cdot (m+2)\cdot (2m+3)}{6}}$

Wird diese Formel auch gelten?

$\sum _{k=1}^{m}k^{2}={\frac {m\cdot (m+1)\cdot (2m+1)}{6}}$ (nächster Schritt: auf beide Seiten (m+1)² addieren)

$\sum _{k=1}^{m}k^{2}+(m+1)^{2}={\frac {m\cdot (m+1)\cdot (2m+1)}{6}}+(m+1)^{2}$ (nächster Schritt: rechts gemeinsamen Nenner erzeugen)

$\sum _{k=1}^{m+1}k^{2}={\frac {m\cdot (m+1)\cdot (2m+1)}{6}}+{\frac {6\cdot (m+1)^{2}}{6}}$ (nächster Schritt: Brüche mit gemeinsamer Nenner als ein Bruch schreiben)

$\sum _{k=1}^{m+1}k^{2}={\frac {m\cdot (m+1)\cdot (2m+1)+6\cdot (m+1)^{2}}{6}}$ (nächster Schritt: (m+1) Herausheben)

$\sum _{k=1}^{m+1}k^{2}={\frac {(m+1)\cdot (m(2m+1)+6(m+1))}{2}}$ (nächster Schritt: manche Rechnungen im Zähler durchführen)

$\sum _{k=1}^{m+1}k^{2}={\frac {(m+1)\cdot (2m^{2}+7m+6}{6}}$

$\sum _{k=1}^{m+1}k^{2}={\frac {(m+1)\cdot (m+2)\cdot (2m+3)}{6}}$

Wir haben also gezeigt, dass, wenn die Formel für irgendeine natürliche Zahl gilt, dann wird sie sicherlich auch für die nächste gelten. Zeigen wir jetzt, dass diese Formel für m=1 gilt:

$\sum _{k=1}^{1}k^{2}={\frac {1\cdot (1+1)\cdot (2\cdot 1+1)}{6}}$

$1={\frac {1\cdot 2\cdot 3}{6}}$

...was selbstverständlich gilt. Daher gilt der Satz für alle natürliche Zahlen.

Summenformel ungerader Quadrate

Wir zeigen erst einmal, dass, wenn diese Formel für eine zufällige natürliche Zahl m gilt, dann wird sie auch für m+1 gelten (also für die nächste natürliche Zahl). Wir nehmen also an, dass $\textstyle \sum _{k=1}^{m}(2k-1)^{2}={\frac {m\cdot (2m-1)\cdot (2m+1)}{3}}$ schon gilt. Wenn wir m durch m+1 ersetzen, bekommen wir die Formel:

$\sum _{k=1}^{m+1}(2k-1)^{2}={\frac {(m+1)\cdot (2m+1)\cdot (2m+3)}{3}}$

Wird diese Formel auch gelten?

$\sum _{k=1}^{m}(2k-1)^{2}={\frac {m\cdot (2m-1)\cdot (2m+1)}{3}}$ (nächster Schritt: auf beide Seiten (m+1)² addieren)

$\sum _{k=1}^{m}(2k-1)^{2}+(2m+1)^{2}={\frac {m\cdot (2m-1)\cdot (2m+1)}{3}}+(2m+1)^{2}$ (nächster Schritt: rechts gemeinsamen Nenner erzeugen)

$\sum _{k=1}^{m+1}(2k-1)^{2}={\frac {m\cdot (2m-1)\cdot (2m+1)}{3}}+{\frac {3\cdot (2m+1)^{2}}{3}}$ (nächster Schritt: Brüche mit gemeinsamer Nenner als ein Bruch schreiben)

$\sum _{k=1}^{m+1}(2k-1)^{2}={\frac {m\cdot (2m-1)\cdot (2m+1)+3\cdot (2m+1)^{2}}{3}}$ (nächster Schritt: (2m+1) Herausheben)

$\sum _{k=1}^{m+1}(2k-1)^{2}={\frac {(2m+1)\cdot (m(2m-1)+3(2m+1))}{3}}$ (nächster Schritt: manche Rechnungen im Zähler durchführen)

$\sum _{k=1}^{m+1}(2k-1)^{2}={\frac {(2m+1)\cdot (2m^{2}+5m+3}{3}}$

$\sum _{k=1}^{m+1}(2k-1)^{2}={\frac {(2m+1)\cdot (m+1)\cdot (2m+3)}{3}}$

Wir haben also gezeigt, dass, wenn die Formel für irgendeine natürliche Zahl gilt, dann wird sie sicherlich auch für die nächste gelten. Zeigen wir jetzt, dass diese Formel für m=1 gilt:

$\sum _{k=1}^{1}(2k-1)^{2}={\frac {1\cdot (2\cdot 1-1)\cdot (2\cdot 1+1)}{3}}$

$1={\frac {1\cdot 1\cdot 3}{3}}$

...was selbstverständlich gilt. Daher gilt der Satz für alle natürliche Zahlen.

Geometrische Beweise

Gleichseitiges Dreieck

Wir wenden den Satz des Pythagoras für die Hälfte des Dreiecks an:

$\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}+h^{2}=a^{2}\Rightarrow \ h^{2}=a^{2}-\left({\frac {a}{2}}\right)^{2}\ \Rightarrow \ h={\sqrt {\frac {4a^{2}-a^{2}}{4}}}\ ={\sqrt {\frac {3a^{2}}{4}}}\Rightarrow \ h={\frac {{\sqrt {3}}a}{2}}\$

Die Formel für ein rechtwinkeliges Dreieck mit Katheten a und b ist $\textstyle A={\frac {a\cdot b}{2}}.\$ Wir haben zwei rechtwinkeligen Dreiecke (linker und rechter Teil des gleichseitigen Dreiecks) mit Seiten $\textstyle h={\frac {{\sqrt {3}}a}{2}}$ und $\textstyle b={\frac {a}{2}}.\$ Daher ist die Fläche:

$A=2{\frac {a\cdot b}{2}}=h\cdot {\frac {a}{2}}={\frac {{\sqrt {3}}a}{2}}\cdot \ {\frac {a}{2}}\Rightarrow$

$A={\frac {\sqrt {3}}{4}}a^{2}$

Goldener Schnitt

Laut Definition sollte gelten:

${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}\ \Rightarrow \ a^{2}=a\cdot b+b^{2}\ \Rightarrow \ a^{2}-b\cdot a-b^{2}=0$

Laut Formel für die quadratische Gleichung gilt für ihre Lösungen (wenn a die unbekannte Variable ist):

${a}_{1,2}={\frac {b}{2}}\ \pm \ {\frac {\sqrt {b^{2}+4\cdot b^{2}}}{2}}\ \Rightarrow \ {a}_{1,2}={\frac {b}{2}}\ \pm \ {\frac {b\cdot {\sqrt {5}}}{2}}\ \Rightarrow \$ (Wir nehmen nur die positive Lösung)

${\frac {a}{b}}={\frac {a+b}{a}}\ ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\left(={\frac {2}{{\sqrt {5}}-1}}\right)$

Quadratfläche mit Diagonale

Laut Formel für die Diagonale d bei einem Quadrat mit Seite a gilt:

$d={\sqrt {2}}\cdot a\ \Rightarrow \ a={\frac {d}{\sqrt {2}}}$

Laut Formel für die Fläche:

$A=a^{2}=\left({\frac {d}{\sqrt {2}}}\right)^{2}\ \Rightarrow \$

$A={\frac {d^{2}}{2}}$

Widerspruchsbeweise

Minus mal Minus

Nehmen wir folgende Rechnung:

$(-5)\cdot (5a+(-3a))$

Macht man nach der Regel erst die Rechnung in Klammern, ist das Ergebnis:

$(-5)\cdot (5a+(-3a))=(-5)\cdot 2a=-10a$

Dies sollte also ein richtiges Ergebnis sein.

Wenn erst die Klammer aufgelöst wird, dann ergibt sich Folgendes:

$(-5)\cdot (5a+(-3a))=(-5)\cdot 5a+(-5)\cdot (-3a)$

$(-5)\cdot 5a\$ist $\ -25a$

Wenn Minus mal Minus Minus wäre, dann wäre $(-5)\cdot (-3a)=(-15a)$ und das Ganze ergäbe:

$-25a-15a=-35a$

was ein falsches Ergebnis ist, da wir schon gesehen haben, dass das Ergebnis, wenn man erst die Rechnung in Klammern macht, $-10a$ ist.

Wenn Minus mal Minus Plus ist, dann ist $(-5)\cdot (-3a)=(+15a)$ und das Ganze ergibt:

$-25a+15a=-10a$

... was mit unserem Ergebnis am Anfang übereinstimmt.

Ähnliche Ergebnisse bekommt man, egal welches Beispiel benutzt wird. Daher ist Minus mal Minus Plus.

Wurzel 3 Irrationalität

Erst zeigen wir, dass das Quadrat von Zahlen, die durch 3 teilbar sind immer auch Zahlen sind, die auch durch 3 teilbar sind. Wir zeigen auch, dass das Quadrat von Zahlen, die nicht durch 3 teilbar sind immer auch Zahlen sind, die auch nicht durch 3 teilbar sind:

Sei m eine Zahl, die durch 3 teilbar ist. Nennen wir das Ergebnis der Teilung k. Dann gilt:

$m=3\cdot k$

$m^{2}=(3\cdot k)^{2}$

$m^{2}=3\cdot (3\cdot k^{2})$

Also: das Quadrat einer Zahl, die durch 3 teilbar ist, ist auch eine Zahl, die durch 3 teilbar ist.

Sei n eine Zahl, die nicht durch 3 teilbar ist. Diese Zahl kann zwei Formen haben: $n=3\cdot k+1$ oder $n=3\cdot k+2.\$ Für den ersten Fall gilt:

$m=3\cdot k+1$

$m^{2}=(3\cdot k+1)^{2}$

$m^{2}=9k^{2}+6\cdot k+1$

$m^{2}=3(3k^{2}+2\cdot k)+1$

Also: das Quadrat ist auch nicht durch 3 teilbar.

Für den zweiten Fall gilt:

$m=3\cdot k+2$

$m^{2}=(3\cdot k+2)^{2}$

$m^{2}=9k^{2}+12\cdot k+4$

$m^{2}=3(3k^{2}+4\cdot k+1)+1$

Also: das Quadrat ist auch nicht durch 3 teilbar.

Daraus folgt:

Satz 1: Wenn das Quadrat einer Zahl durch 3 teilbar ist, dann kann diese Zahl nur auch durch 3 teilbar sein,...

...weil, wenn sie nicht durch 3 teilbar wäre, ihr Quadrat doch auch nicht durch 3 teilbar wäre.

Nehmen wir also jetzt an, dass ${\sqrt {3}}={a \over b}$, wobei a und b teilerfremd sind. Dann gilt:

$3={a^{2} \over b^{2}}\ \Rightarrow \ a^{2}=3\cdot b^{2}$

Nach Satz 1 bedeutet dies, dass a eine durch 3 teilbare Zahl ist (da ihr Quadrat auch eine durch 3 teilbare Zahl ist). Schreiben wir also: $a=3\cdot q$, wo $q$ der Quotient von a durch 3 ist. Dann gilt:

$(3\cdot q)^{2}=3\cdot b^{2}\Rightarrow 9\cdot q^{2}=3\cdot b^{2}\Rightarrow 3\cdot q^{2}=b^{2}$

was dann nach Satz 1 bedeutet, dass b AUCH eine durch 3 teilbare Zahl ist. Das kann aber nicht sein, weil wir angenommen haben, dass a und b teilerfremd sind, also dass sie keinen gemeinsamen Primfaktor haben.

Wenn wir also vermuten, dass ${\sqrt {3}}={a \over b}$, also ein Bruch von natürlichen Zahlen, ist, sollten diese Zahlen gleichzeitig teilerfremd sein UND 3 als gemeinsamen Teiler haben. Dies ist selbstverständlich nicht möglich. Daher kann es nicht sein, dass ${\sqrt {3}}$ ein Bruch von natürlichen Zahlen, also eine rationale Zahl, ist. Daher ist sie eine irrationale Zahl.