Finden Sie die Definitions- und die Lösungsmenge der folgenden Bruchtermegleichung 2 x − 4 x 2 − 4 − 3 x x 2 − x = 3 x − 13 , 5 x 2 − 1 {\displaystyle {\frac {2x-4}{x^{2}-4}}-{\frac {3x}{x^{2}-x}}={\frac {3x-13{,}5}{x^{2}-1}}}
{\displaystyle \quad } A) 4 x 2 − 5 x − 2 x 2 + 4 x x 2 + x − 2 x x − 1 = 2 x + 15 x 2 − 1 ⇔ {\displaystyle \quad {\frac {4x^{2}-5x-2x^{2}+4x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}\quad \Leftrightarrow } {\displaystyle \quad } 2 x 2 − x x 2 + x − 2 x x − 1 = 2 x + 15 x 2 − 1 ⇔ {\displaystyle {\frac {2x^{2}-x}{x^{2}+x}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}\quad \Leftrightarrow } {\displaystyle \quad } x ( 2 x − 1 ) x ( x + 1 ) − 2 x x − 1 = 2 x + 15 x 2 − 1 ⇔ {\displaystyle {\frac {x(2x-1)}{x(x+1)}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{x^{2}-1}}\quad \Leftrightarrow } {\displaystyle \quad } 2 x − 1 x + 1 − 2 x x − 1 = 2 x + 15 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⇔ {\displaystyle {\frac {2x-1}{x+1}}-{\frac {2x}{x-1}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\quad \Leftrightarrow } 2 x − 1 x + 1 ⋅ ( x − 1 ) ⏟ − 2 x x − 1 ⋅ ( x + 1 ) ⏟ = 2 x + 15 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⇔ ( 2 x − 1 ) ⋅ ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⋅ ( x − 1 ) − 2 x ⋅ ( x + 1 ) ( x − 1 ) ⋅ ( x + 1 ) = 2 x + 15 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⇔ 2 x 2 − 2 x − x + 1 ( x + 1 ) ⋅ ( x − 1 ) − 2 x 2 + 2 x ( x − 1 ) ⋅ ( x + 1 ) = 2 x + 15 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⇔ {\displaystyle {\begin{aligned}{\overset {\underbrace {\cdot \ (x\ -\ 1)} }{\frac {2x-1}{x+1}}}\qquad &\qquad -{\overset {\underbrace {\cdot \ (x\ +\ 1)} }{\frac {2x}{x-1}}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\quad \Leftrightarrow \\\\{\frac {(2x-1)\cdot (x-1)}{(x+1)\cdot (x-1)}}&-{\frac {2x\cdot (x+1)}{(x-1)\cdot (x+1)}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\quad \Leftrightarrow \\\\{\frac {2x^{2}-2x-x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}&-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}&&={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\quad \Leftrightarrow \end{aligned}}}
{\displaystyle \quad } 2 x 2 − 3 x + 1 ( x + 1 ) ⋅ ( x − 1 ) − 2 x 2 + 2 x ( x − 1 ) ⋅ ( x + 1 ) = 2 x + 15 ( x − 1 ) ( x + 1 ) | ⋅ ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⇔ {\displaystyle {\frac {2x^{2}-3x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\qquad \qquad |\cdot (x-1)(x+1)\quad \Leftrightarrow }
{\displaystyle \quad } [ 2 x 2 − 3 x + 1 ( x + 1 ) ⋅ ( x − 1 ) − 2 x 2 + 2 x ( x − 1 ) ⋅ ( x + 1 ) ] ⋅ ( x − 1 ) ( x + 1 ) = 2 x + 15 ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⋅ ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⇔ {\displaystyle \left[{\frac {2x^{2}-3x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}\right]\cdot (x-1)(x+1)={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\cdot (x-1)(x+1)\quad \Leftrightarrow }
{\displaystyle \quad } ( 2 x 2 − 3 x + 1 ) ⋅ ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) − ( 2 x 2 + 2 x ) ⋅ ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) = ( 2 x + 15 ) ⋅ ( x − 1 ) ( x + 1 ) ( x − 1 ) ( x + 1 ) ⇔ {\displaystyle {\frac {(2x^{2}-3x+1)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}-{\frac {(2x^{2}+2x)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}={\frac {(2x+15)\cdot {\xcancel {(x-1)(x+1)}}}{\xcancel {(x-1)(x+1)}}}\quad \Leftrightarrow }
( 2 x 2 − 3 x + 1 ) − ( 2 x 2 + 2 x ) = 2 x + 15 | (Klammer auflösen) ⇔ 2 x 2 − 3 x + 1 − 2 x 2 − 2 x = 2 x + 15 | (Vereinfachen und Variablen trennen) ⇔ − 5 x + 1 = 2 x + 15 | − 1 − 2 x ) ⇔ − 7 x = 14 | : ( − 7 ) ⇔ x = − 2 {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(2x^{2}-3x+1)&-(2x^{2}+2x)&&=2x+15\qquad |{\text{(Klammer auflösen)}}\quad \Leftrightarrow \\\\2x^{2}-3x+1&-2x^{2}-2x&&=2x+15\qquad |{\text{(Vereinfachen und Variablen trennen)}}\quad \Leftrightarrow \\\\&\quad -5x+1&&=2x+15\qquad |-1-2x)\quad \Leftrightarrow \\\\&\qquad -7x&&=\ 14\qquad \qquad |:(-7)\quad \Leftrightarrow \\\\&\qquad \quad \ x&&=-2\end{alignedat}}}
Die Definitionsmenge ist:
x ≠ { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle x\neq \{-1,\ 0,\ 1\}\qquad } oder D = R ∖ { − 1 , 0 , 1 } {\displaystyle \mathbb {D} =\mathbb {R} \setminus \{-1,\ 0,\ 1\}}
Die Lösungsmenge ist daher:
L = { − 2 } {\displaystyle \mathbb {L} =\{-2\}}
{\displaystyle \quad } B)
A) 
![{\displaystyle \left[{\frac {2x^{2}-3x+1}{(x+1)\cdot (x-1)}}-{\frac {2x^{2}+2x}{(x-1)\cdot (x+1)}}\right]\cdot (x-1)(x+1)={\frac {2x+15}{(x-1)(x+1)}}\cdot (x-1)(x+1)\quad \Leftrightarrow }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fb7bec9d6eb97316e4574c7536b49053fc43296)
oder 
B)
