Mathematrix: Aufgabenbeispiele/ Binomialverteilung

In einer Tierart ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein weibliches Tier geboren wird, 55%. $\quad$A) Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung $\qquad$nach 8 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, $\qquad$dass 3 weibliche Tiere geboren werden? $\quad$B) Wie viel ist der Erwartungswert und die Standardabweichung $\qquad$nach 11 Geburten und wie viel die Wahrscheinlichkeit, $\qquad$dass nach 11 Geburten 9 weibliche Tiere geboren werden? $\quad$C) Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten $\qquad$höchstens 10 weibliche Tiere geboren werden? $\quad$D) Wie viel ist die Wahrscheinlichkeit, dass nach 11 Geburten $\qquad$zumindest 8 weibliche Tiere geboren werden?

A)

Erwartungswert: $E(X)=p\cdot n=0{,}55\cdot 8=4{,}4$

Im Durchschnitt werden 4,4 weibliche Tiere erwartet.

Standartabweichung: σ= ${\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}={\sqrt {8\cdot 0{,}55\cdot 0{,}45}}\approx 1{,}4$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=k)={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{(n-k)}={\binom {8}{3}}\cdot 0{,}55^{3}\cdot (1-0{,}45)^{(8-3)}\approx 17{,}2\%$

B)

Erwartungswert: $E(X)=p\cdot n=0{,}55\cdot 11=6{,}05$

Im Durchschnitt werden etwa 6 weibliche Tiere erwartet.

Standartabweichung: σ= ${\sqrt {n\cdot p\cdot (1-p)}}={\sqrt {11\cdot 0{,}55\cdot 0{,}45}}\approx 1{,}65$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=k)={\binom {n}{k}}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{(n-k)}={\binom {11}{9}}\cdot 0{,}55^{9}\cdot (1-0{,}45)^{(11-9)}\approx 5{,}1\%$

C)

Wahrscheinlichkeit: $P(X=11)={\binom {11}{11}}\cdot 0{,}55^{1}1\cdot (1-p)^{(11-11)}\approx 0{,}14\%$

Die restliche Wahrscheinlichkeit ist: 1-0,0014≈99,86%

D)

Wahrscheinlichkeit: $P(X=11)={\binom {11}{11}}\cdot 0{,}55^{1}1\cdot (1-p)^{(11-11)}\approx 0{,}14\%$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=10)={\binom {11}{10}}\cdot 0{,}55^{1}0\cdot (1-p)^{(11-10)}\approx 1{,}25\%$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=9)={\binom {11}{9}}\cdot 0{,}55^{9}\cdot (1-p)^{(11-9)}\approx 5{,}13\%$

Wahrscheinlichkeit: $P(X=8)={\binom {11}{8}}\cdot 0{,}55^{8}\cdot (1-p)^{(11-8)}\approx 12{,}59\%$

Also insgesamt P(X≥8)≈12,59%+5,13%+1,25%+0,14%=19,11%