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Einführungsbeispiel für quadratische Funktionen

Fallbeispiel:

Sarah bereitet sich auf die Führerscheinprüfung vor.

Sie hat gelernt, dass sich der Anhalteweg eines bremsenden Autos auf trockener asphaltierter Straße aus dem Reaktionsweg und dem Bremsweg zusammensetzt.

Sie kennt folgende Faustregeln, um aus der gefahrenen Geschwindigkeit v den Bremsweg b und den Reaktionsweg r zu berechnen.

$b=\left({\frac {v}{10}}\right)^{2};r=3{\frac {v}{10}}.$

Darin ist v ausgedruckt in Kilometer pro Stunde (km/h), und b und r in Meter (m).

Dann liest sie folgenden Artikel in der Tageszeitung und ist verunsichert.

Achtung:

Mitteilung der Rheinischen Post vom 3.3.04

Ab 1. Juli 2004 wird der Anhalteweg auf einer trockenen asphaltierten Straße mit einem anderen Bremsweg berechnet.

Neuer Bremsweg b:

${\color {Red}b={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {v}{10}}\right)^{2}}.$

Bemerkung zu den Einheiten der Faustformel:

Der Bremsweg kommt in Meter (m) heraus, wenn die Geschwindigkeit in Kilometer pro Stunde (km/h) eingesetzt wird.

Aufgabenstellung:

• Bestimmen Sie für beide Fälle die Funktionsgleichung s = g(v), bzw. s = f(v), mit der für jede gefahrene Geschwindigkeit der Anhalteweg s berechnet werden kann.

• Stellen Sie für beide Fälle in einer Wertetabelle für folgende gefahrene Geschwindigkeiten v = 0, 10, 20, 30, ... 100 km/h die jeweiligen Anhaltewege s zusammen.

• Zeichnen Sie beide Graphen in ein Koordinatensystem.

• Kommentieren Sie das Gesamtergebnis.

Problemlösung:

• Die Funktionsgleichung:

alte Regelung:   $s=g(v)=\left({\frac {v}{10}}\right)^{2}+3{\frac {v}{10}}.$

neue Regelung:  ${\color {Red}s=f(v)={\tfrac {1}{2}}\left({\frac {v}{10}}\right)^{2}+3{\frac {v}{10}}.}$

• Die Wertetabelle:

	v (in km/h)	0	10	20	30	40	50	60	70	80	90	100
alt	s = g(v) (in m)	0	4	10	18	28	40	54	70	88	108	130
neu	s = f(v) (in m)	0	3,5	8	13,5	20	27,5	36	45,5	56	67,5	80

• Die Graphen:

Die x – Achse stellt die jeweils gefahrene Geschwindigkeit in km/h da.

Die y – Achse stellt den jeweiligen Anhalteweg in m da.

• Der Kommentar:

Nach der neuen Verordnung wird der Unterschied mit zunehmender Geschwindigkeit immer größer.

Bei 50 km/h beträgt der neue Anhalteweg 27,5 m, das sind etwa 69% des alten Weges von 40 m.

Bei 100 km/h beträgt der neue Anhalteweg nur noch 80 m, das sind etwa 61% des alten Weges von 130 m.

Die Verringerung des Bremsweges ist wegen der besseren Bremsen (ABS) sinnvoll.

Bemerkung

Gespräche mit Schülern, die gegenwärtig die Fahrschule besuchen, ergab, dass auch heute noch (2006) in der Fahrschule die alte Regelung vermittelt wird. Vermutlich gibt es immer noch Autos ohne ABS.

Folgerung

Bei genauer Betrachtung der Funktionsgleichungen und der Graphen stellen wir fest, das es sich weder um lineare Funktionen, noch um Geraden handelt. Die Funktionsgleichungen haben die Form:

$f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}.$

Solche Funktionen nennt man quadratische Funktion oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.

Die Graphen werden Parabeln genannt.

Weitere Informationen zum Thema Quadratische Funktionen findet ihr auf der Webseite Quadratische Funktionen