Mathematikunterricht/ Sek/ Lineare Funktionen/ Die Steigung

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Für die Steigung einer linearen Funktion gilt: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}={\frac {y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}}$

Sie beschreibt, wie der y-Wert um Δy zunimmt/abnimmt, wenn der x-Wert um Δx zunimmt. Dabei kann man auch Vielfache der jeweiligen Steigung nehmen - das ist manchmal sehr praktisch zum Zeichnen oder Auslesen. Dabei sagt man:

• eine Ursprungsgerade steigt, wenn die Steigung positiv ist.
• eine Ursprungsgerade fällt, wenn die Steigung negativ ist.

Ursprungsgerade mit der Steigung einzeichnen

1. Zeichnen Sie den y-Achsenabschnitt ein.
2. Gehen Sie so viele Einheiten nach rechts, wie der Nenner der Steigung angibt.
3. Gehen Sie so viele Einheiten nach oben, wie der Zähler der Steigung angibt.
4. Zeichnen Sie die Gerade durch y-Achsenabschnitt und zweitem Punkt.

Steigung aus dem Graphen auslesen

1. Suchen Sie zwei Punkte im Koordinatengitter, durch die die Funktion glatt geht.
2. Bestimmen Sie den Abstand in x- und den Abstand in y-Richtung der beiden Punkte (bspw. durch Zählen der Kästchen).
3. Bestimmen Sie daraus die Steigung: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$

Steigung durch zwei Punkte

Ist zwei Punkte A (a_x|a_y) und B (b_x|b_y) gegeben, so kann man damit leicht die Steigung berechnen.

1. Berechne die Differenz in y-Richtung: $\Delta y=b_{y}-a_{y}$.
2. Berechne die Differenz in x-Richtung: $\Delta x=b_{x}-a_{x}$.
3. Berechne daraus die Steigung: $m={\frac {\Delta y}{\Delta x}}$.
4. Notiere die Gleichung: $f(x)=m\cdot x$.

Beispiel:

A (2|4) und B (-3|-6)

1. $\Delta y=-6-4=-10$
2. $\Delta x=-3-2=-5$
3. $m={\frac {-10}{-5}}=2$
4. $f(x)=2\cdot x$

Oder die Kurzform für A (a_x|a_y) und B (b_x|b_y):

1. Berechne die Steigung: $m={\frac {b_{y}-a_{y}}{b_{x}-a_{x}}}$
   Merke: Ende - Anfang
2. Notiere die Gleichung: $f(x)=m\cdot x$

Beispiel

A (-2|5) und B (4|-10)

1. $m={\frac {-10-5}{4-(-2)}}{\frac {-15}{6}}=-{\frac {5}{2}}$
   Aufpassen: Vorzeichen!
2. $f(x)=-{\frac {5}{2}}\cdot x$

Aber: Ursprungsgeraden gehen ja immer durch den Ursprung. Wir haben also immer einen Punkt gegeben, nämlich O (0|0). Dadurch vereinfacht sich das Konzept:

Merke: Die Gleichung einer Ursprungsgeraden durch einen Punkt A (a_x|a_y) ist gegeben durch
$f(x)={\frac {a_{y}}{a_{x}}}\cdot x$

Übungen

Aufgabe 1: Zeichnen Sie die folgenden Ursprungsgeraden in ein Koordinatensystem. Größe: 5cm in jede Richtung.

1. $f(x)=2x$
2. $g(x)=-2x$
3. $h(x)=x$
4. $j(x)=-{\frac {1}{3}}x$

Aufgabe 2: Lesen Sie die Steigungen der Graphen f, g, h und j aus.

Lösungen

Aufgabe 1:

Aufgabe 2:

• $m={\frac {2-(-1)}{2-(-1)}}=1\Rightarrow f(x)=x$
• $m={\frac {1-2}{-2-(-4)}}={\frac {-1}{2}}\Rightarrow g(x)=-{\frac {1}{2}}x$
• $m={\frac {-5-5}{1-(-1)}}={\frac {-10}{-2}}=-5\Rightarrow h(x)=-5$
• $m={\frac {1-0}{4-0}}={\frac {1}{4}}\Rightarrow j(x)={\frac {1}{4}}x$