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Grundwissen: Grundrechenarten, Addition und Subtraktion von gleichnamigen Brüchen, Primfaktorzerlegung

Erklärung des Begriffs

Unter „gleichnamigen Brüchen“ versteht man bekanntlich Brüche mit gleichem Nenner.

Zur Addition oder Subtraktion zweier Brüche, die nicht gleichnamig sind, sich also im Nenner unterscheiden, muss man sie gleichnamig machen.

Beispiel

Wie berechnet man die folgende Addition?

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}$

Hier sollen ein dritter Teil und ein fünfter Teil addiert werden. Das läßt sich nicht unmittelbar feststellen, weil die Brüche nicht direkt vergleichbar sind. Damit man sie vergleichen kann, muss man sie auf den gleichen Nenner bringen, also gleichnamig machen. Dazu benötigt man den Hauptnenner der beiden Brüche, also das kleinste gemeinschaftliche Vielfache (kgV) der Einzelnenner – im Beispiel 15. Wenn man die Brüche auf Fünfzehntel bringt, kann man sie direkt vergleichen:

${\begin{aligned}{\frac {1}{3}}&={\frac {5}{15}}\\{\frac {1}{5}}&={\frac {3}{15}}\\\end{aligned}}$

Insgesamt erhält man also $5+3=8$ Fünfzehntel:

${\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}={\frac {5}{15}}+{\frac {3}{15}}={\frac {8}{15}}$

Hauptnenner mit Hilfe der Primfaktorzerlegung

Im Beispiel bestanden die Nenner aus zwei (verschiedenen) Primzahlen; in diesem Fall ist der Hauptnenner immer das Produkt der beiden Primzahlen.

In allen anderen Fällen ist wie folgt vorzugehen:

• Zerlege die Nenner in die Primfaktoren (einschließlich der Vielfachen).
• Bestimme den Hauptnenner, indem alle vorkommenden Faktoren übernommen werden.
• Erweitere die einzelnen Brüche auf diesen Hauptnenner.

Beispiel:

${\frac {15}{42}}+{\frac {8}{45}}$

Zerlegung der Nenner:

$42=2\cdot 3\cdot 7$

$45=3^{2}\cdot 5$

Der Hauptnenner muss die Faktoren 2, 3, 5, 7 enthalten und wegen der Potenz die 3 doppelt:

$2\cdot 3^{2}\cdot 5\cdot 7=630$

Für die Erweiterung der Brüche sind alle Faktoren zu berücksichtigen, die im Hauptnenner enthalten sind und im einzelnen Bruch fehlen:

${\begin{aligned}630&=42\cdot 3\cdot 5\\630&=45\cdot 2\cdot 7\end{aligned}}$

Beim Nenner 42 fehlen der Faktor 5 und die zweite Potenz von 3; beim Nenner 45 fehlen die Faktoren 2 und 7.

Damit kann die Addition ausgeführt werden:

${\frac {15}{42}}+{\frac {8}{45}}={\frac {15\cdot 15}{42\cdot 15}}+{\frac {8\cdot 14}{45\cdot 14}}={\frac {225}{630}}+{\frac {112}{630}}={\frac {225+112}{630}}={\frac {337}{630}}$

Weil der Hauptnenner das kleinste gemeinsame Vielfache der Einzelnenner ist, kann das Ergebnis nicht mehr gekürzt werden.