Mathematikunterricht/ Sek/BKI/2.7 Winkel einer Geraden

Einführung

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Der Winkel einer Geraden wird üblicherweise definiert als Winkel zwischen er x-Achse und der Geraden im mathematisch positiven Sinn (also gegen den Uhrzeigersinn). Holen wir uns mal eine Gerade her, so sehen wir schnell, wie wir den Winkel berechnen können:

 

Wir im Kapitel über Trigonometrie gelernt, können wir uns hier mit Sinus, Kosinus und Tangens austoben.

  1. Aus der Steigung m können wir das Verhältnis Δy zu Δx auslesen.
  2. Die beiden Seiten Δy und Δx sind hier Gegenkathete bzw. Ankathete zum Winkel α.
  3. Das bedeutet, wir verwenden den Tangens:

 

Information

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Für den Winkel einer linearen Funktion gilt:

 

Merke: Achten Sie darauf, dass der Taschenrechner auf Grad / deg / degree eingestellt ist.

Wir betrachten die Funktion  .

 

Da die Steigung negativ ist, fällt die Funktion, sodass der Winkel negativ durchaus Sinn ergibt. In der Mathematik gibt man aber selten negative Winkel an, weswegen man die -63,43° noch umrechnet durch addieren von 360° - man geht also ein mal um den Kreis herum in positive Richtung.

 

Wir können das mal testweise zurückrechnen, also die Steigung aus dem Winkel erechnen:

 

 

Mit Runden klappt es also auch so rum. Zu einer fertigen Funktion würde uns jetzt natürlich noch ein Punkt oder ein y-Achsenabschnitt fehlen.

Übungen

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Aufgabe 1: Berechnen Sie den Winkel der linearen Funktionen. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

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Aufgabe 2: Bestimmen Sie die Steigung der linearen Funktion f, deren Winkel α Sie gegeben haben. Runden Sie auf zwei Nachkommastellen.

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Aufgabe 3: Bestimmen Sie den Funktionsterm der Funktion f mit dem Winkel α = 45° durch den Punkt A (-2|1).


Lösungen

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Aufgabe 1:

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Aufgabe 2:

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Aufgabe 3:

  1. Steigung berechnen:  
  2. Funktionsterm ohne t:  
  3. Punkt A einsetzen:  
  4. Auflösen nach t:  
  5. Funktionsterm notieren: