Mathematikunterricht/ Sek/BKI/2.5 Schnittpunkte

Information

Es gibt für zwei lineare Funktion f und g genau drei Möglichkeiten:

1. Sie sind identisch - also sowohl Steigung m als auch y-Achsenabschnitt t stimmen überein.
2. Sie sind parallel - also die Steigung m ist bei beiden gleich, aber die y-Achsenabschnitte nicht.
3. Sie schneiden sich - also weder Steigungen noch y-Achsenabschnitte stimmen überein.

Die Fälle 1 und 2 sind relativ leicht anhand der Funktionsterme erkennbar.

Merke: Hinweis: Parallele Geraden haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

Kann man Fall 1 und 2 ausschließen, heißt das, dass sich f und g schneiden. Es kann keine andere Möglichkeit geben.

Methode

Der Schnittpunkt zweier Geraden f und g wird bestimmt durch: Gleichsetzen der Funktionsterme. Auflösen nach x. Einsetzen des gefundenen x in eine der beiden Gleichungen. Es ist egal, welche von beiden. Schnittpunkt notieren.

Für das Auflösen von (linearen) Gleichungen siehe Gleichungssysteme.

Beispiel: Bestimme den Schnittpunkt von $f(x)=-{\frac {2}{5}}\cdot x+{\frac {4}{5}}$ und $g(x)=3x-6$.

1. $f(x)=g(x)$.
2. ${\begin{matrix}-{\frac {2}{5}}\cdot x+{\frac {4}{5}}&=&3x-6&\mid &\cdot 5\\-2x+4&=&15x-30&\mid &+2x;+30\\34&=&17x&\mid &:17\\x&=&2\end{matrix}}$
3. $g(2)=3\cdot 2-6=0$ (g(2) ist hier einfacher zu berechnen)
4. S(2|0)

Übungen

Aufgabe 1: Bestimmen Sie die Schnittpunkte der Funktionen f und g:

1. $f(x)=3x-9$ und $g(x)=-3x+6$
2. $f(x)=4$ und $g(x)={\frac {1}{2}}x$
3. $f(x)=1x+1$ und $g(x)=-{\frac {3}{2}}x-8$
4. $f(x)=-{\frac {2}{3}}x$ und $g(x)={\frac {4}{3}}x+2$
5. $f(x)={\frac {1}{3}}x-1$ und $g(x)=-3x+6$

Lösungen

Aufgabe 1:

1. S(2,5|-1,5)
2. S(8|4)
3. S(-3,6|-2,6)
4. S(-1|${\frac {2}{3}}$)
5. S(2,1|-0,3)