Mathematikunterricht/ Sek/BG/E8.6 Wahrscheinlichkeit bei mehrstufigen Zufallsexperimenten
Erarbeitung
BearbeitenWir betrachten das Ziehen zweier Kugeln aus einer Urne mit drei roten, zwei blauen und einer grünen Kugel mit Zurücklegen.
Versuchen wir das als Laplace-Experiment zu lösen, so müssen wir das Baumdiagramm etwas größer machen.
Jetzt können wir per Laplace die Wahrscheinlichkeiten über berechnen. Das sieht dann so aus:
Ereignis | Günstige Fälle | nach Laplace | Umformung | Regel |
---|---|---|---|---|
rr | 9 | |||
rb | 6 | |||
rg | 3 | |||
br | 6 | |||
bb | 4 | |||
bg | 2 | |||
gr | 3 | |||
gb | 2 | |||
gg | 1 |
Es sieht also danach aus, als könnte man immer die Wahrscheinlichkeiten multiplizieren, wenn man einen Pfad eines Baumdiagramms entlang geht. Dies nennen wir die Pfadmultiplikationsregel.
Pfadmultiplikationsregel: Entlang eines Pfades eines Baumdiagramms werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
Nun untersuchen wir, wie es sich mit Ereignissen verhält, die über mehrere Pfade gehen.
Aufgabe 1: Ergänzen Sie folgende Tabelle und formulieren Sie die Pfadadditionsregel.
Ereignis | durch Zählen | Durch Muster |
---|---|---|
„Eine rote Kugel wird gezogen.“ | ||
„Es wird eine rote und eine blaue Kugel gezogen. Reihenfolge egal.“ | ||
„Es wird mindestens eine blaue Kugel gezogen.“ |
Aufgabe 2: Überprüfen Sie Ihre Überlegungen
- mit der gleichen Urne, aber ohne Zurücklegen.
- mit einer Urne mit zwei gelben und vier violetten Kugeln, aus der zwei Kugeln (a) mit Zurücklegen und (b) ohne Zurücklegen nacheinander gezogen werden.
Hefteintrag
BearbeitenIn einem Baumdiagramm gelten:
- Pfadmultiplikationsregel: Entlang eines Pfades eines Baumdiagramms werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert.
- Pfadadditionsregel: Umfasst ein Ereignis mehrere Pfade, so werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert.
Übungen
BearbeitenÜbung 1: Eine Münze wird drei mal geworfen. Die Reihenfolge wird beachtet.
- Bestimmen Sie alle möglichen Ergebnisse.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse.
- Bearbeiten Sie a und b für den Fall, dass die Reihenfolge nicht beachtet wird.
-> Lösung
Übung 2: In einer Urne befinden sich drei rote und vier blaue Kugeln. Es wird zwei mal hintereinander aus dieser Urne eine Kugel gezogen mit Zurücklegen.
- Bestimmen Sie alle möglichen Ergebnisse.
- Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeiten dieser Ergebnisse.
- Bearbeiten Sie a und b für den Fall, dass die Reihenfolge nicht beachtet wird.
- Wie sind die Wahrscheinlichkeiten, wenn die Kugeln nicht wieder zurück gelegt werden?Tipp: Schreiben Sie sich dazu die Anzahl der Kugeln zu den Pfaden mit dazu.
-> Lösung
Lösungen zur Erarbeitung
BearbeitenAufgabe 1
BearbeitenEreignis | durch Zählen | Durch Muster |
---|---|---|
„Genau eine rote Kugel wird gezogen.“ | ||
„Es wird eine rote und eine blaue Kugel gezogen. Reihenfolge egal.“ | ||
„Es wird mindestens eine blaue Kugel gezogen.“ |
Pfadadditionsregel: Umfasst ein Ereignis mehrere Pfade, so werden deren Wahrscheinlichkeiten addiert.
Lösungen zu den Übungen
BearbeitenÜbung 1
BearbeitenÜbung 2
Bearbeiten(b)
rr | ||
rb | ||
br | ||
bb |
(c) Ohne Reihenfolge: rb und br fallen zusammen.
rr | ||
rb/br | ||
bb |
(d) Ohne Zurücklegen: Wahrscheinlichkeiten ändern sich.
Mit Reihenfolge:
rr | ||
rb | ||
br | ||
bb |
Ohne Reihenfolge: rb und br fallen zusammen.
rr | ||
rb/br | ||
bb |