Mathematikunterricht/ Quadratzahlen

Es gibt mehrere Formulierungen, die alle dasselbe bedeuten:

• Quadratzahlen sind der Wert eines Produktes, bei dem beide Faktoren gleich sind.
• Quadratzahlen sind das Ergebnis einer Multiplikation, bei der zwei gleiche Zahlen miteinander multipliziert werden.
• Quadratzahlen sind das Ergebnis einer Multiplikation, bei der eine Zahl mit sich selbst multipliziert wird.

Achtung: Die Zahlen, die miteinander multipliziert werden, dürfen zwar negativ sein, dennoch gibt es keine negativen Quadratzahlen:: Das Ergebnis ist immer positiv – gleichgültig, welche Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Denn „plus“ mal „plus“ ergibt „plus“, so wie „minus“ mal „minus“ ebenfalls „plus“ ergibt. Für ein negatives Ergebnis muss die eine Zahl positiv und die andere negativ sein; also sind diese beiden Zahlen nicht gleich.

Schreibweise

1. Beide Faktoren werden ausgeschrieben:

12 · 12 = 144

2. Beide Faktoren werden zu einem zusammengefasst:

12² = 144

Die ersten 30 Quadratzahlen

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25
• 6² = 36
• 7² = 49
• 8² = 64
• 9² = 81
• 10² = 100
• 11² = 121
• 12² = 144
• 13² = 169
• 14² = 196
• 15² = 225
• 16² = 256
• 17² = 289
• 18² = 324
• 19² = 361
• 20² = 400
• 21² = 441
• 22² = 484
• 23² = 529
• 24² = 576
• 25² = 625
• 26² = 676
• 27² = 729
• 28² = 784
• 29² = 841
• 30² = 900

Einfache Rechenverfahren

Quadratzahlen bis 30

Um die Quadratzahlen für Zahlen $x>10$ im Kopf auszurechnen, gibt es folgendes Verfahren:

• Für den linken Anteil des Ergebnisses rechne man: $x+(x-10)$
• Für den rechten Anteil rechne man: $(x-10)^{2}$
• Beide Anteile werden auf spezielle Art „addiert“ (siehe Beispiel).

Dabei ist darauf zu achten, dass der rechte Anteil nicht zu groß werden darf, sonst geht es nicht mehr im Kopf.

Beispiel: $21^{2}$

• linker Anteil $21+(21-10)=32$
• rechter Anteil $(21-10)^{2}=121$
• Zusammenfügen der Anteile:

  32       Achtung: um ein Zeichen versetzt, dahinter ist eine 0 hinzuzudenken
+ 121
–––––
  441

Quadratzahlen bis 99

Auf ähnliche Weise können Quadratzahlen bis 99 „halb im Kopf“ berechnet werden:

• Quadriere die linke Ziffer.
• Quadriere die rechte Ziffer.
• Multipliziere beide Ziffern miteinander und verdopple dieses Ergebnis.
• Diese drei Zahlen werden auf spezielle Art „addiert“ (siehe Beispiel).

Beispiel: $73^{2}$

• linke Ziffer quadriert ergibt 49
• rechte Ziffer quadriert ergibt 9 (gemerkt als 09)
• beide Ziffern multipliziert ergibt 21, verdoppelt ist 42
• Zusammenfügen der Anteile:

  4909
+  42      Achtung: um ein Zeichen versetzt, dahinter ist eine 0 hinzuzudenken
------
  5329

Beliebige Quadratzahlen

Dieses Verfahren kann auf beliebige Quadratzahlen erweitert werden. Für die Zwischenwerte ist jede Ziffer mit jeder Ziffer zu multiplizieren und das Zwischenergebnis zu verdoppeln. Beim Zusammenfügen sind die Anteile jeweils um ein weiteres Zeichen zu versetzen.

Beispiel: $9753^{2}$

   81492509    9*9   - 7*7   - 5*5   - 3*3
+  1267030     9*7*2 - 7*5*2 - 5*3*2          benachbarte Ziffern um ein Zeichen nach links versetzt
+    9042      9*5*2 - 7*3*2                  eine Ziffer überspringen, ein weiteres Zeichen nach links
+     54       9*3*2                          zwei Ziffern überspringen, ein weiteres Zeichen nach links
-----------                                   bei größeren Zahlen dieses Verfahren fortsetzen
   95121009