Mathematikunterricht/ Nullstellen

Nullstellen sind die Stellen einer Funktion, an denen der y-Wert gleich Null ist, also die Kurve die x-Achse schneidet. Das Wort Stellen habe ich hier extra hervorgehoben, da die Nullstellen gerne mit den Punkten verwechselt werden an denen die x-Achse geschnitten wird. Im Gegenteil zu den Punkten hat die Nullstelle nämlich nur einen Wert und das ist der x-Wert. Den y-Wert kann man ruhig weglassen, da eine Nullstelle ja schon bedeutet, dass $y=0$ sein muss.

$f(x)=0$ Mit der oben genannten Formel lassen sich die Nullstellen auch am einfachsten berechnen. Hierzu ein kleines Beispiel.

Wir nehmen die Normalparabel und verschieben sie um eins nach unten, also negativ die y-Achse entlang.

$f(x)=x^{2}-1$

Wenn wir sie jetzt in ein Koordinatensystem zeichnen, können wir die Nullstellen sofort ablesen. Und zwar sind die Nullstellen genau die Werte auf der x-Achse bei denen die Parabel die x-Achse schneidet, was in unserem Fall -1 und 1 sind.

Das geht aber leider nicht immer so einfach, weil man entweder nicht so genau ablesen kann oder die Funktion viel zu schwer ist um sie zu zeichnen. Also nehmen wir unsere erste Formel $f(x)=0$ zur Hand. Und wenn wir jetzt $f(x)=x^{2}-1$ mit $f(x)=0$ vereinen, erhalten wir $0=f(x)=x^{2}-1$ woraus folgt $0=x^{2}-1$.

Nun suchen wir den x-Wert bzw. die x-Werte für den bzw. die die Gleichung erfüllt ist. Also müssen wir nach x umstellen und bekommen $1=x^{2}$. Dies ist der fall für $x=1$ und $x=-1$. Also haben wir unsere Nullstellen gefunden.

Als kleinen Tipp kann man sich noch merken, dass es immer nur maximal so viele Nullstellen wie die höchste Potenz über dem x ist. In unserem Fall war das eine 2 und wir haben zwei Nullstellen gefunden. Also alle, die es gibt. Diese Regel gilt aber nur im Reellen, wenn man in die komplexen Zahlen geht, sieht das noch anders aus - das ist aber ein anderes Thema.