Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Wert einer Zahlungsreihe

Endwert einer Zahlungsreihe

Beispiel

Zu Silvester des Jahres 2010 verspricht die Gräfin Pinkowa ihrem Neffen Challodrij bei absolutem Wohlverhalten im Jahr $t$ als Belohnung zu Silvester des Jahres $t$ folgende Beträge:

Jahr          2010    2011    2012    2013    2014   
Zeitpunkt  $t$      0      1       2       3       4
Zuwendung  $x_{t}$     0     10000   15000   20000   30000

Auf wie viel wächst das Vermögen bei einem Zinsfuß von 5 % bis Ende 2014 an, falls der Neffe es sofort anlegt?

Betrachten wir das wieder tabellarisch:

Ende t  Endwert des Kapitals am Ende von t:  $K_{t}$ 
   0        $0$  
   1        $K_{1}=x_{1}$ 
-
   2        $K_{2}=x_{2}+K_{1}+K_{1}\cdot i=x_{2}+x_{1}+x_{1}\cdot i=x_{2}+x_{1}\cdot (1+i)$ 
-             
   3        $K_{3}=x_{3}+K_{2}+K_{2}\cdot i$  
                  $=x_{3}+(x_{2}+x_{1}\cdot (1+i))+(x_{2}+x_{1}\cdot (1+i))\cdot i$  
                  $=x_{3}+(x_{2}+x_{1}\cdot (1+i))\cdot (1+i)$ 
                  $=x_{3}+x_{2}\cdot (1+i)+x_{1}\cdot (1+i)^{2}$ .
- 
   4        $K_{4}=x_{4}+K_{3}+K_{3}\cdot i$  
                  $=x_{4}+(x_{3}+x_{2}\cdot (1+i)+x_{1}\cdot (1+i)^{2})+(x_{3}+x_{2}\cdot (1+i)+x_{1}\cdot (1+i)^{2})\cdot i$  
                  $=x_{4}+(x_{3}+x_{2}\cdot (1+i)+x_{1}\cdot (1+i)^{2})\cdot (1+i)^{2})\cdot (1+i)$                  
                  $=x_{4}+x_{3}\cdot (1+i)+x_{2}\cdot (1+i)^{2}+x_{1}\cdot (1+i)^{3}$ .
- 
                  $K_{4}=\sum _{t=1}^{4}x_{t}(1+i)^{4-t}$ .

Der Endwert $K_{n}$ der Zahlungsreihe ist also mit $q=1+i$

K_{n}=\sum _{t=1}^{n}x_{t}q^{n-t}

.

Wir erhalten

t      $x_{t}$          $q^{n-t}$                        $x_{t}\cdot q^{n-t}$ 
1    $10000$         $q^{3}=1,05^{3}=1,157625$           $11576,25$ 
2    $15000$         $q^{2}=1,1025$                   $16537,5$           
3    $20000$         $q^{1}=1,05$                     $21000$              
4    $30000$         $q^{0}=1$                       $30000$ 
-------------------------------------------------------------
Summe                                     $79113,75$

Challodrij wird also schließlich insgesamt 79113,75 € auf der hohen Kante haben.

Barwert einer Zahlungsreihe

Es besteht nun die Möglichkeit, dass Challodrij vor Zeugen einen heiligen Schwur leistet, dass er sich ganz gewiss wohlverhält. Dann könnte ihm jetzt schon das Geld ausgezahlt werden. Allerdings wäre das nun weniger, weil die Gräfin es früher von der Bank nehmen muss. Dafür hat allerdings Challodrij das Geld sofort. Was wäre diese Zahlungsreihe zum heutigen Zeitpunkt wert?

Hier gilt für den Barwert wieder analog zu oben

K_{0}={\frac {x_{1}}{q^{1}}}+{\frac {x_{2}}{q^{2}}}+{\frac {x_{3}}{q^{3}}}+{\frac {x_{4}}{q^{4}}}=\sum _{t=1}^{n}{\frac {x_{t}}{q^{t}}},

also

K_{0}={\frac {10000}{1,05}}+{\frac {15000}{1,1025}}+{\frac {20000}{1,157625}}+{\frac {30000}{1,21551}}

=9523,81+13605,44+17276,75+25681,00=65087,08

,

d. h. der Neffe bekäme sofort 65087,08 € ausgezahlt.

Negative Beträge, z. B. Ausgaben statt Einnahmen, werden ebenso auf- bzw. abgezinst, das Minuszeichen bleibt erhalten.

Zahlungsreihen in der Investitionsrechnung

Das Diskontieren von Zahlungsreihen findet insbesondere seine Anwendung in der Investitionsrechnung. Hier prüft man, ob eine geplante Investition rentabel ist. Dazu wird zunächst die Laufzeit der Investition festgelegt. Dann schätzt man für jedes Jahr der Laufzeit die erwarteten Einzahlungen und Auszahlungen (bzw. Einnahmen und Ausgaben). Diese Zahlungsreihen werden nun abgezinst, wobei der sog. Kalkulationszinsfuß zur Anwendung kommt. Wie ist dieser aufzufassen? Es soll beispielsweise ein Fabrik für 30 Mio. € gebaut werden. Die 30 Mio. müssen aufgebracht werden und der Kapitalgeber möchte für den Verzicht auf dieses Geld eine Belohnung, die sich als Verzinsung des eingesetzten Kapitals errechnet (Dividende, Unternehmerlohn, Darlehenszinsen ...).

Grundsätzlich hat der Geldgeber die Wahl zwischen der Anlage des Geldes auf der Bank oder der Investition. Ist es also sinnvoll, den Bankzinssatz als Kalkulationszinssatz zu nehmen? Natürlich nicht, weil die Investition in ein Unternehmen i. A. riskanter ist als eine Bankanlage. Man wird hier einen höheren Zinssatz wählen, der einen Risikozuschlag enthält. Beispiel

Die Firma Naturale plant die Anschaffung einer Kunststoffpresse neueren Typs für 15.000 €. Die gesamte Nutzungsdauer wird auf 4 Jahre veranschlagt. Da zuerst die Produktionsabläufe auf die Maschine abgestimmt werden müssen, wird die Kostensituation anfangs ungünstig sein. Nach Ende der Nutzungsdauer kann man die Maschine für 5000 € weiterverkaufen. Die Betriebsleitung schätzt folgende anfallende Zahlungen

t   Einzahlung  $e_{t}$     Auszahlung  $a_{t}$   Nettoeinzahlung (Cash-Flow)  $c_{t}$ 
0        $0$              $15000$             $-15000$ 
1     $3000$               $4000$              $-1000$ 
2     $3000$               $3000$                  $0$           
3     $8000$               $1000$               $7000$              
4     $9000+5000$          $1000$              $13000$