Summen sind speziell in den Sozialwissenschaften ein unverzichtbares Instrument. Summen sind inhaltlich zwar ein Bestandteil von Reihen. Allerdings wird in diesem Zusammenhang selten auf bestimmte Eigenschaften von Summen eingegangen, so dass diesen hier ein eigener Abschnitt gewidmet wird.
Beispiel :
Umsatz (in 1000 Euros) der letzten 5 Monate eines Möbelhauses:
Monat Nr. i 1
2
3
4
5
Umsatz xi x1 =2500
x2 =2800
x3 =2900
x4 =3000
x5 =3200
Gesamtumsatz U des Möbelhauses:
U
=
∑
i
=
1
5
x
i
=
2500
+
2800
+
.
.
.
+
3200
=
14400
{\displaystyle U=\sum _{i=1}^{5}x_{i}=2500+2800+...+3200=14400}
Allgemein :
∑
i
=
r
n
x
i
{\displaystyle \sum _{i=r}^{n}x_{i}}
(i, r, n ∈ ℤ, r ≤ n). i wird als Summationsindex bezeichnet. r ist der Summationsanfang, n das Summationsende. Weitere Beispiele :
∑
i
=
1
20
i
=
1
+
2
+
3
+
.
.
.
+
20
=
20
⋅
21
2
=
210
{\displaystyle \sum _{i=1}^{20}i=1+2+3+...+20={\frac {20\cdot 21}{2}}=210}
∑
i
=
1
∞
(
−
1
)
i
=
(
−
1
)
1
+
(
−
1
)
2
+
(
−
1
)
3
.
.
.
=
−
1
+
1
−
1
+
1...
{\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }(-1)^{i}=(-1)^{1}+(-1)^{2}+(-1)^{3}...=-1+1-1+1...}
Bestandsveränderungen eines Lagers im Jahr t (2000: 0; 2001: 1; 2002: 2; ...):
∑
t
=
0
4
=
1000
+
500
−
300
+
2000
+
1500
{\displaystyle \sum _{t=0}^{4}=1000+500-300+2000+1500}
anhand von Beispielen:
1. Im Allgemeinen werden die Summenargumente in Klammern gesetzt. Lediglich Produktausdrücke werden ohne Klammern nach dem Summenzeichen aufgeführt.
Beispiel :
∑
i
=
1
3
(
x
i
+
1
)
=
x
1
+
1
+
x
2
+
1
+
x
3
+
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}(x_{i}+1)=x_{1}+1+x_{2}+1+x_{3}+1}
∑
i
=
1
3
x
i
+
1
=
x
1
+
x
2
+
x
3
+
1
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}x_{i}+1=x_{1}+x_{2}+x_{3}+1}
∑
i
=
1
n
(
x
i
+
y
i
)
=
∑
i
=
1
n
x
i
+
∑
i
=
1
n
y
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}+y_{i})=\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}}
wegen
=
x
1
+
y
1
+
x
2
+
y
2
+
x
3
+
y
3
+
.
.
.
=
x
1
+
x
2
+
x
3
+
.
.
.
+
y
1
+
y
2
+
y
3
+
.
.
.
=
∑
i
=
1
n
x
i
+
∑
i
=
1
n
y
i
{\displaystyle =x_{1}+y_{1}+x_{2}+y_{2}+x_{3}+y_{3}+...=x_{1}+x_{2}+x_{3}+...+y_{1}+y_{2}+y_{3}+...=\sum _{i=1}^{n}x_{i}+\sum _{i=1}^{n}y_{i}}
∑
i
=
1
n
(
a
+
b
x
i
)
=
n
a
+
b
∑
i
=
1
n
x
i
,
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a+bx_{i})=na+b\sum _{i=1}^{n}x_{i},}
Beispiel :
∑
i
=
1
5
(
3
+
2
x
i
)
=
3
+
2
x
1
+
3
+
2
x
2
+
3
+
2
x
3
+
3
+
2
x
4
+
3
+
2
x
5
=
5
⋅
3
+
2
(
x
1
+
x
2
+
x
3
+
x
4
+
x
5
)
=
5
⋅
3
+
2
∑
i
=
1
5
x
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{5}(3+2x_{i})=3+2x_{1}+3+2x_{2}+3+2x_{3}+3+2x_{4}+3+2x_{5}=5\cdot 3+2(x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5})=5\cdot 3+2\sum _{i=1}^{5}x_{i}}
∑
i
=
r
n
a
i
=
∑
i
=
r
m
a
i
+
∑
i
=
m
+
1
n
a
i
{\displaystyle \sum _{i=r}^{n}a_{i}=\sum _{i=r}^{m}a_{i}+\sum _{i=m+1}^{n}a_{i}}
Beispiel :
∑
i
=
3
10
i
2
=
9
+
16
+
25
+
36
+
49
+
64
+
81
+
100
{\displaystyle \sum _{i=3}^{10}i^{2}=9+16+25+36+49+64+81+100}
=
(
9
+
16
+
25
)
+
(
36
+
49
+
64
+
81
+
100
)
=
∑
i
=
3
5
i
2
+
∑
i
=
6
10
i
2
{\displaystyle =(9+16+25)+(36+49+64+81+100)=\sum _{i=3}^{5}i^{2}+\sum _{i=6}^{10}i^{2}}
∑
i
=
1
n
x
i
⋅
y
i
≠
∑
i
=
1
n
x
i
⋅
∑
i
=
1
n
y
i
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot y_{i}\neq \sum _{i=1}^{n}x_{i}\cdot \sum _{i=1}^{n}y_{i}}
Beispiel :
∑
i
=
1
3
i
⋅
1
i
=
1
1
+
2
2
+
3
3
=
3
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}i\cdot {\frac {1}{i}}={\frac {1}{1}}+{\frac {2}{2}}+{\frac {3}{3}}=3}
∑
i
=
1
3
i
⋅
∑
i
=
1
3
1
i
=
(
1
+
2
+
3
)
⋅
(
1
1
+
1
2
+
1
3
)
=
6
⋅
11
6
≠
3.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}i\cdot \sum _{i=1}^{3}{\frac {1}{i}}=(1+2+3)\cdot ({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}})=6\cdot {\frac {11}{6}}\neq 3.}
Beispiel :
Ein Verlag will eine Fernsehzeitschrift rausbringen. Er versieht die Zeitschrift mit 3 verschiedenen Titeln und lässt sie in einem Supermarkt auslegen. Es kauften nach Geschlecht getrennt:
Titel
TV-Film
Film-TV
TV und Film
Σ
Männlich 1
3
7
11
Weiblich 2
5
8
15
Σ 3
8
15
26
Diese Tabelle hat zwei Zeilen und drei Spalten. i ist der Zeilenindex, j der Spaltenindex. Allgemein sieht unsere Tabelle dann so aus:
j = 1
j = 2
j = 3
∑
j
=
1
3
a
i
j
=
a
i
.
{\displaystyle \sum _{j=1}^{3}a_{ij}=a_{i.}}
i = 1
a
11
{\displaystyle a_{11}}
a
12
{\displaystyle a_{12}}
a
13
{\displaystyle a_{13}}
a
1.
{\displaystyle a_{1.}}
i = 2
a
21
{\displaystyle a_{21}}
a
22
{\displaystyle a_{22}}
a
23
{\displaystyle a_{23}}
a
2.
{\displaystyle a_{2.}}
∑
i
=
1
2
a
i
j
=
a
.
j
{\displaystyle \sum _{i=1}^{2}a_{ij}=a_{.j}}
a
.1
{\displaystyle a_{.1}}
a
.2
{\displaystyle a_{.2}}
a
.3
{\displaystyle a_{.3}}
a
.
.
{\displaystyle a_{..}}
Allgemeine Bezeichnungsweise :
Element
a
i
j
(
i
=
1
,
.
.
.
,
m
;
j
=
1
,
.
.
.
,
n
)
,
{\displaystyle a_{ij}\;(i=1,...,m;\;j=1,...,n),}
Summe über alle Zeilen:
∑
i
=
1
m
a
i
j
=
a
.
j
,
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}a_{ij}=a_{.j},}
Summe über alle Spalten:
∑
j
=
1
n
a
i
j
=
a
i
.
,
{\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}=a_{i.},}
Summe über alle
a
i
j
{\displaystyle a_{ij}}
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
a
i
j
=
a
.
.
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}=a_{..}.}
Beispiel :
1
+
3
+
7
+
2
+
5
+
8
{\displaystyle 1+3+7+2+5+8}
1
+
2
+
3
+
5
+
7
+
8
{\displaystyle 1+2+3+5+7+8}
Rechenregeln bei Doppelsummen :
1.
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
(
b
+
c
⋅
a
i
j
)
=
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
(
b
+
c
⋅
a
i
j
)
=
m
⋅
n
⋅
b
+
c
⋅
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
a
i
j
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(b+c\cdot a_{ij})=\sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}(b+c\cdot a_{ij})=m\cdot n\cdot b+c\cdot \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}}
Beispiel von oben mit b = 5 und c = 4:
∑
i
=
1
2
∑
j
=
1
3
(
5
+
4
⋅
a
i
j
)
=
5
+
4
⋅
1
+
5
+
4
⋅
3
+
5
+
4
⋅
7
+
5
+
4
⋅
2
+
5
+
4
⋅
5
+
5
+
4
⋅
8
{\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{3}(5+4\cdot a_{ij})=5+4\cdot 1+5+4\cdot 3+5+4\cdot 7+5+4\cdot 2+5+4\cdot 5+5+4\cdot 8}
=
6
⋅
5
+
4
(
1
+
3
+
7
+
.
.
.
+
8
)
=
30
+
4
⋅
∑
i
=
1
2
∑
j
=
1
3
a
i
j
{\displaystyle =6\cdot 5+4(1+3+7+...+8)=30+4\cdot \sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{3}a_{ij}}
2.
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
b
j
⋅
a
i
j
=
∑
j
=
1
n
b
j
⋅
∑
i
=
1
n
a
i
j
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}b_{j}\cdot a_{ij}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\cdot \sum _{i=1}^{n}a_{ij}.}
Beispiel von oben: Der Preis für eine Zeitschrift sei 2, 3 bzw. 4 Euros (
b
j
{\displaystyle b_{j}}
2
⋅
1
+
3
⋅
3
+
4
⋅
7
+
2
⋅
2
+
3
⋅
5
+
4
⋅
8
=
∑
i
=
1
2
∑
j
=
1
3
b
j
⋅
a
i
j
{\displaystyle 2\cdot 1+3\cdot 3+4\cdot 7+2\cdot 2+3\cdot 5+4\cdot 8=\sum _{i=1}^{2}\sum _{j=1}^{3}b_{j}\cdot a_{ij}}
2
⋅
(
1
+
2
)
+
3
⋅
(
3
+
5
)
+
4
⋅
(
7
+
8
)
=
b
1
⋅
∑
i
=
1
2
a
i
1
+
b
2
⋅
∑
i
=
1
2
a
i
2
+
b
3
⋅
∑
i
=
1
2
a
i
3
=
∑
j
=
1
n
b
j
⋅
∑
i
=
1
n
a
i
j
.
{\displaystyle 2\cdot (1+2)+3\cdot (3+5)+4\cdot (7+8)=b_{1}\cdot \sum _{i=1}^{2}a_{i1}+b_{2}\cdot \sum _{i=1}^{2}a_{i2}+b_{3}\cdot \sum _{i=1}^{2}a_{i3}=\sum _{j=1}^{n}b_{j}\cdot \sum _{i=1}^{n}a_{ij}.}
3. Es gibt natürlich auch kompliziertere Mehrfachsummen, z.B.
∑
i
=
1
m
∑
j
=
1
n
∑
k
=
1
p
∑
l
=
1
q
a
i
j
k
l
.
{\displaystyle \sum _{i=1}^{m}\sum _{j=1}^{n}\sum _{k=1}^{p}\sum _{l=1}^{q}a_{ijkl}.}
1. Berechnen Sie
∑
i
=
0
4
i
i
+
1
{\displaystyle \sum _{i=0}^{4}{\frac {i}{i+1}}}
∑
i
=
−
2
3
a
{\displaystyle \sum _{i=-2}^{3}a}
∑
j
=
−
3
2
(
k
−
j
)
2
{\displaystyle \sum _{j=-3}^{2}(k-j)^{2}}
1
+
8
+
27
+
64
+
125
{\displaystyle 1+8+27+64+125}
5
+
4
3
+
1
3
+
2
27
+
1
81
{\displaystyle 5+{\frac {4}{3}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {2}{27}}+{\frac {1}{81}}}
1
−
3
+
5
−
7
+
8
{\displaystyle 1-3+5-7+8}
5 8 2 3
1 -2 1 0
-6 1 7 5
∑
i
=
1
2
∑
j
=
3
4
x
i
j
{\displaystyle \sum _{i=1}^{2}\sum _{j=3}^{4}x_{ij}}
∑
i
=
1
3
∑
j
=
1
4
x
i
j
{\displaystyle \sum _{i=1}^{3}\sum _{j=1}^{4}x_{ij}}
Summe der 4. Spalte
Summe der 2. Zeile
Summe der Tabellen-Elemente unterhalb der xii -Werte.
∑
k
=
5
100
1
(
k
−
1
)
k
{\displaystyle \sum _{k=5}^{100}{\frac {1}{(k-1)k}}}
Hinweis: Es gilt
1
(
k
−
1
)
k
=
1
(
k
−
1
)
−
1
(
k
)
{\displaystyle {\frac {1}{(k-1)k}}={\frac {1}{(k-1)}}-{\frac {1}{(k)}}}
∑
i
=
1
5
(
2
−
3
x
i
)
+
∑
i
=
1
5
(
10
x
i
−
4
)
{\displaystyle \sum _{i=1}^{5}(2-3x_{i})+\sum _{i=1}^{5}(10x_{i}-4)}
∑
i
=
0
n
+
1
(
3
+
5
x
i
)
−
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
1
)
−
2
∑
i
=
0
n
(
3
x
i
+
1
)
{\displaystyle \sum _{i=0}^{n+1}(3+5x_{i})-\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-1)-2\sum _{i=0}^{n}(3x_{i}+1)}
i definiert als
x
¯
=
1
n
∑
i
=
1
n
x
i
{\displaystyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}x_{i}}
Zeigen Sie mit Hilfe der Rechenregeln bei Summen, dass gilt
∑
i
=
1
n
(
x
i
−
x
¯
)
2
=
∑
i
=
1
n
x
i
2
−
n
⋅
x
¯
2
{\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\overline {x}})^{2}=\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}-n\cdot {\overline {x}}^{2}}
