Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Aussagenlogik

Einführung

Aussagenlogisch ist eine Aussage ein Satz, der wahr oder falsch ist. Der Wahrheitswert der Aussage wird mit $w$ für wahr oder $f$ für falsch gekennzeichnet. Sehr häufig werden auch "1" oder "0" als entsprechende Notation für die die entsprechenden Wahrheitswerte verwendet.

Welche der folgenden Sätze sind Aussagen?

Madonna ist eine berühmte Bildhauerin.

Gestern hat es geregnet.

Gefällt dir meine neue Bluse?

$5x=15$ mit $x=3$.

$4=18$.

Hoffentlich hört dieser Alleinunterhalter bald zu spielen auf.

Wenn doch schon Sonntag wäre.

Die Studentin Berta ist ein Mensch und Amseln können nicht fliegen.

Amseln sind doof.

Eine Aussage wird oft durch einen Kleinbuchstaben dargestellt.

Keine Aussagen sind Sätze wie $x^{2}>9$. Dieser Satz enthält eine Variable und man kann erst den Wahrheitsgehalt beurteilen, wenn man den konkreten Wert der Variablen kennt. Man nennt so eine "halbfertige Aussage" eine Aussageform. Eine Aussage wäre etwa

a: $x^{2}>9$ für $x=2$ (falsch) oder a: $x^{2}>9$ für $x=4$.

Aussageformen bestehen aus Termen. Ein Term ist ein mathematischer Ausdruck aus Zahlen und/oder Variablen. Ein Term mit Variablen kann mit Hilfe bestimmter Zahlen in einen Zahlenwert umgewandelt werden. Beispiele für einen Term:

$3,05{\mbox{;}}$     $e^{0,1}\cdot x^{2}{\mbox{;}}$     ${\frac {x-3}{x+5}}\;.$

Logische Operatoren

Aussagen verknüpft man durch logische Operatoren. Man kann die Wahrheitswerte der verknüpften Aussagen in einer so genannten Wahrheitstafel zusammenfassen. $w$ und $f$ werden wie Konstanten behandelt.

Negation "nicht": ¬

$a$: Heike Jacobsen ist eine Frau

¬$a$: Heike Jacobsen ist keine Frau

Der Wahrheitswert von "nicht" $a$ hängt von $a$ ab: Ist $a$ falsch, ist ¬$a$ richtig und umgekehrt.

Wahrheitstafel ¬
$a$ | $\neg a$
-----
$w$ | $f$
$f$ | $w$

Konjunktion "und": $\wedge$

Beispiel:

Im Studiengang BWL muss man Wirtschaftsenglisch machen. Das Fach wurde bestanden, wenn sowohl eine schriftliche als auch eine mündliche Prüfung bestanden wurde.

$a$: Die schriftliche Prüfung wurde bestanden.

$b$: Die mündliche Prüfung wurde bestanden.

$c=a\wedge b$: Die schriftliche Prüfung wurde bestanden und die mündliche Prüfung wurde bestanden.

$c$ bedeutet, Wirtschaftsenglisch wurde bestanden.

Wahrheitstafel $\wedge$
$a$ $b$ | $a\wedge b$
---------
$w$ $w$ |$w$
$w$ $f$ | $f$
$f$ $w$ | $f$
$f$ $f$ | $f$

Nur wenn $a$ und $b$ zugleich wahr sind, ist $c$ wahr. In allen anderen Fällen ist $c$ falsch.

Disjunktion "oder": $\lor$

Beispiel:

Im Ferienort Husenkamp bekommt ein Feriengast vom Bürgermeister eine Flasche Sekt, wenn er Geburtstag hat oder wenn er beim wöchentlich stattfindenden Skatturnier gewonnen hat.

$a$: Der Gast hat Geburtstag.

$b$: Der Gast hat das Skatturnier gewonnen.

$c=a\lor b$: Der Gast hat Geburtstag oder der Gast hat das Skatturnier gewonnen.

Hier genügt eine der beiden Forderungen, um eine Flasche Sekt zu bekommen. Es können aber auch beide Forderungen zugleich gelten. Bei diesem Oder handelt es sich also nicht um ein Entweder-Oder.

Wahrheitstafel $\lor$${\displaystyle }$
$a$ $b$ | $a\lor b$
---------
$w$ $w$ | $w$
$w$ $f$ | $w$
$f$ $w$ | $w$
$f$ $f$ | $f$

$c$ ist schon wahr, wenn mindestens eine der Aussagen $a$ oder $b$ wahr ist.

Die drei Operatoren $\neg$, $\wedge$ und $\lor$ gelten als "klassische Grundversorgung" der Aussagenlogik. Es sind noch mehrere Operatoren geläufig, die sich aber alle sämtlich mit Hilfe der drei obigen Operatoren ausdrücken lassen.

Implikation "wenn $a$, dann $b$": $\Rightarrow$

Beispiel:

Berta will den Führerschein machen. Um den Führerschein zu bekommen, muss sie mindestens 18 sein (Jaaa, ich weiß... Aber wir wollen von Sonder- und Ausnahmeregeln mal absehen).

$a$: Berta bekommt den Führerschein.

$b$: Berta ist mindestens 18.

$c=a\Rightarrow b$: Wenn Berta den Führerschein bekommt, ist sie mindestens 18.

Man sagt auch "aus $a$ folgt $b$" oder "$a$ ist hinreichend, $b$ ist notwendig".

Für den Wahrheitswert von $c$ ist hier die Schlüssigkeit der Folgerung ausschlaggebend.

Schauen wir uns die Möglichkeiten an:

$a$ $b$ | $a\Rightarrow b$
$w$ $w$ | $w$  Ist unproblematisch
.............
$a$ $b$ | $a\Rightarrow b$
$w$ $f$ | $f$  Wenn Berta den Führerschein bekommt, ist sie jünger als 18. 
         Diese Folgerung ist falsch, denn wenn sie jünger als 18 ist, 
         kann sie keinen Führerschein kriegen
..............
$a$ $b$ | $a\Rightarrow b$
$f$ $w$ | $w$  Wenn Berta keinen Führerschein bekommt, ist sie mindestens 18. 
         Diese Folgerung ist schlüssig, denn nur weil sie über 18 ist, 
         muss sie nicht zwangsläufig einen wollen. 
..............
$a$ $b$ | $a\Rightarrow b$
$f$ $f$ | $w$ Wenn Berta keinen Führerschein bekommt, ist sie jünger als 18. 
        Diese Folgerung ist wahr.

Betrachtet man die Aussagen mengentheoretisch, beispielsweise als Menge $A$: Personen die über 18 sind, und $B$: Personen, die einen Führerschein haben, so wäre $B$ eine Teilmenge von $A$.

Für die Implikation erhalten wir also die Wahrheitstafel

Wahrheitstafel $\Rightarrow$

$a$ $b$ | $a\Rightarrow b$
---------
$w$ $w$ | $w$
$w$ $f$ | $f$
$f$ $w$ | $w$
$f$ $f$ | $w$

Die Implikation $a\Rightarrow b$ lässt sich auch darstellen als $\neg a\lor b$.

Äquivalenz "wenn $a$, dann $b$ und wenn $b$, dann $a$": $\Leftrightarrow$

Ein Beispiel für Äquivalenzen aus dem täglichen Leben ist nicht leicht zu finden. Meistens wirken diese Beispiele trivial. Daher folgt ein Beispiel aus der Algebra. Sei x eine reelle Zahl.

$a$: $3x-9\leq {\frac {x}{2}}+1$.

$b$: $x\leq 4$.

$c=a\Leftrightarrow b$: Wenn $3x-9\leq {\frac {x}{2}}+1$ ist, dann ist $x\leq 4$ und wenn $x\leq 4$ ist, ist auch $3x-9\leq {\frac {x}{2}}+1$.

Man kann das auch so darstellen: $c=a\Leftrightarrow b=((3x-9\leq {\frac {x}{2}}+1)\Rightarrow (x\leq 4))\wedge ((x\leq 4)\Rightarrow (3x-9\leq {\frac {x}{2}}+1))$.

Wahrheitstafel ⇔

$a$ $b$ | $a\Leftrightarrow b$
---------
$w$ $w$ | $w$
$w$ $f$ | $f$
$f$ $w$ | $f$
$f$ $f$ | $w$

Xor (exklusives Oder) "Entweder $a$ oder $b$": $\oplus$

Beispiel:

$a$: Die Studentin Berta fährt heute mit dem Fahrrad zur Hochschule.

$b$: Die Studentin Berta fährt heute mit dem Auto zur Hochschule..

$c=a\oplus b$: Die Studentin Berta fährt heute entweder mit dem Fahrrad oder mit dem Auto zur Hochschule.

Bei diesem Oder ist im Vergleich zur Disjunktion die Konjunktion nicht mitinbegriffen. Deshalb können $a$ und $b$ nicht zugleich wahr oder zugleich falsch sein.

Wahrheitstafel $\oplus$

$a$ $b$ | $a\oplus b$
---------
$w$ $w$ | $f$
$w$ $f$ | $w$
$f$ $w$ | $w$
$f$ $f$ | $f$

Rechenregeln der Aussagenlogik

Die Rechenregeln für die Aussagenlogik sind in der so genannten Booleschen Algebra, einer algebraischen Struktur, festgelegt. Diese boolsche Algebra ist auch die Grundlage für die Konzeption von elektronischen Schaltungen, so dass man sie auch Schaltalgebra nennt.

Die grundsätzlichen Eigenschaften der Booleschen Algebra

Was erwartet man von einer Booleschen Algebra? Diese grundlegenden Eigenschaften werden als Axiome festgelegt. Axiome sind sinnvolle Festlegungen, die nicht bewiesen werden können. Aus diesen Axiomen werden dann die diversen Rechenregeln abgeleitet.

Gegeben ist ein Boolesche Algebra mit beliebigen Aussagen $a$, $b$, $c$, den Verknüpfungen $\neg$, $\wedge$, $\lor$ sowie den Teilaussagen $w$ = wahr und $f$ = falsch.

Axiome:

Kommutativität: Es ist $a\wedge b=b\wedge a\quad$ bzw. $\quad a\lor b=b\lor a$ .

Assoziativität: Es ist $a\wedge (b\wedge c)=(a\wedge b)\wedge c\quad$ bzw. $\quad a\lor (b\lor c)=(a\lor b)\lor c$.

Distributivität: Es ist $a\lor (b\wedge c)=(a\lor b)\wedge (a\lor c)\quad$ bzw. $\quad a\wedge (b\lor c)=(a\wedge b)\lor (a\wedge c)$.

Folgerungen aus den Axiomen

$a\wedge a=a\quad$ bzw. $\quad a\lor a=a$.

$a\wedge w=a\quad$ bzw. $\quad a\lor w=w$.

$a\wedge f=f\quad$ bzw. $\quad a\lor f=a$.

$\neg \neg a=a$.

$a\wedge \neg a=f\quad$ bzw. $\quad a\lor \neg a=w$.

Absorptionsgesetz: $a\wedge (a\lor b)=a\quad$ bzw. $\quad a\lor (a\wedge b)=a$.

De Morgansche Regel: $\neg (a\wedge b)=\neg a\lor \neg b\quad$ bzw. $\quad \neg (a\lor b)=\neg a\wedge \neg b$.

Berechnen von Wahrheitswerten

Um den Wahrheitswert einer zusammengesetzten Aussage zu ermitteln, kann man die Wahrheitstafel für alle möglichen Kombinationen der elementaren Aussagen erstellen. Haben zwei Aussagen die gleiche Wahrheitstafel, sind sie gleich.

Beispiel:

Es wird untersucht, ob

$(a\wedge b)\lor (\neg a\wedge c)\lor (b\wedge c)$ gleich $(a\wedge b)\lor (\neg a\wedge c)$

ist.

Wir werten zuerst die linke Seite der Gleichung $(a\wedge b)\lor (\neg a\wedge c)\lor (b\wedge c)$ aus und überlegen uns, welche Kombinationen für die elementaren Aussagen und ihre Negationen möglich sind:

a b c | 
---------
w w w | 
w w f | 
w f w | 
w f f | 
f w w | 
f w f | 
f f w | 
f f f | 

Dann ermitteln wir nacheinander jeden Klammerausdruck und setzen für die drei Klammern $x$,$y$ und $z$, um damit einfacher weiter arbeiten zu können:
(Negationen werten wir in einem Zwischenschritt gesondert aus)

          x=          y=      z=
a b c | (a∧b)  ¬a  (¬a∧c)  (b∧c)  
----------------------------------
w w w |   w      f     f      w
w w f |   w      f     f      f     
w f w |   f      f     f      f
w f f |   f      f     f      f
f w w |   f      w     w      w
f w f |   f      w     f      f
f f w |   f      w     w      f
f f f |   f      w     f      f

Dann verknüpfen wir die Klammern:

          x=           y=     z=
a b c | (a∧b)  ¬a  (¬a∧c)  (b∧c)  x∨y  (x∨y)∨z   
--------------------------------------------------
w w w |   w      f    f       w      w       w
w w f |   w      f    f       f      w       w     
w f w |   f      f    f       f      f       f
w f f |   f      f    f       f      f       f
f w w |   f      w    w       w      w       w
f w f |   f      w    f       f      f       f
f f w |   f      w    w       f      w       w
f f f |   f      w    f       f      f       f

Es folgt die rechte Seite der Gleichung (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c):

          x=          y=  
a b c | (a∧b)  ¬a  (¬a∧c) 
---------------------------
w w w |   w      f     f  
w w f |   w      f     f       
w f w |   f      f     f      
w f f |   f      f     f      
f w w |   f      w     w      
f w f |   f      w     f      
f f w |   f      w     w      
f f f |   f      w     f    

          x=           y=   
a b c | (a∧b)  ¬a  (¬a∧c)  x∨y  
---------------------------------
w w w |   w      f    f       w     
w w f |   w      f    f       w           
w f w |   f      f    f       f       
w f f |   f      f    f       f      
f w w |   f      w    w       w       
f w f |   f      w    f       f       
f f w |   f      w    w       w       
f f f |   f      w    f       f

Wir sehen, dass beide Wahrheitstafeln das selbe Ergebnis liefern. Deshalb sind die Aussagen gleich.

Es gibt bei der Wertigkeit von Wahrheitstafeln zwei Besonderheiten, die Tautologie und die Kontradiktion.

Die Tautologie ist eine Aussage, deren Wahrheitstafel immer "wahr" liefert.

Beispiel: Der Ausdruck ¬a ⇒ (a ⇒ b) ist eine Tautologie.

a b | ¬a (a⇒b)  ¬a⇒(a⇒b)
-----------------------------
w w | f    w       w
w f | f    f       w
f w | w    w       w
f f | w    w       w

Man kann also schreiben: ¬a ⇒ (a ⇒ b) = w.

Dagegen ist ¬a∧a eine Kontradiktion, also immer falsch.

Übungen

Aufgabe 1

Die Aussage $(a\wedge b)\lor (a\wedge c)\lor (b\wedge c)$ wird zwei aus drei genannt. Geben Sie die Wahrheitheitstafel für diese Aussage an.

Aufgabe 2

Zeigen Sie anhand der Wahrheitheitstafel, dass $a\Leftrightarrow b$ das Selbe ist wie $(a\Rightarrow b)\wedge (b\Rightarrow a)$.

Aufgabe 3

Gegeben sind die Aussagenpaare a und b wie folgt:

a	b
Ein Gast bestellt etwas zu trinken	Ein Gast bestellt Wein
$x$ ist durch 4 teilbar	$x$ ist durch 2 teilbar
$x=5$	$x^{2}=25$
$2+3x=10$	$4+6x=20$

Geben Sie für jedes Paar eine plausible Implikation an.

Aufgabe 4

Aus der Antike ist folgendes Paradoxon bekannt:

Alle Kreter lügen. Eine Person sagt: Ich bin Kreter.

Ist dieses Paradoxon eines?

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