Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Übungen zu Finanzmathematik

Aufgabe 1

Welchen Betrag muss Helga bei einem Zinsfuß von 3% am 1.1.2015 einzahlen, damit sie am 31.12.2020 genau 50.000 € hat

Aufgabe 2

Klausi zahlte am 1.1.2010 10.000 € auf ein Sparbuch ein. Wie viel hat er nach 8 Jahren auf dem Konto (i=0,02)?

Aufgabe 3

Erna verkauft Dachbodentrödel auf Ebay. Zum Ende eines jeden Jahres t zahlt sie die angesammelten Überschüsse xt auf ein Konto ein, dessen Einlagen jährlich mit 6% verzinst werden. Es sind dies

Jahr	t	1	2	3	4	5	6
Betrag	xt	500	1200	800	400	1500	600

Was hat sie nach 6 Jahren auf dem Konto?
Was sind die Überschüsse am 1.1. des ersten Jahres wert? Wie nennt man diesen Wert?

Aufgabe 4

Bert soll aufgrund eines Kreditvertrag jeweils bezahlen:

am 31.12.2018	5000 €
am 31.12.2019	8000 €
am 31.12.2020	6000 €
am 31.12.2021	2000 €
am 31.12.2022	8000 €
am 31.12.2023	5000 €
am 31.12.2024	10000 €

Er möchte lieber ein Ende mit Schrecken, also die Summe sofort bezahlen, d.h. am 1.1.2018. Wie viel müsste Bert auf einmal auf den Tisch legen bei einem Zinsfuß von 5%? Mit welcher Strategie fährt er besser?

Aufgabe 5

Der Sportschuhhersteller Adebar möchte eine neue Sportschuh-Kollektion auf den Markt bringen. Er schätzt für die Einzahlungen und Auszahlungen:

Anfängliche Investition für die Entwicklung des Produkts, Einstellen der Maschinen für den Zuschnitt der Schuhkomponenten usw.: 3 Mio.€ Die Serie soll 10 Jahre laufen. Die Geschäftsleitung schätzt, dass die jährlichen Kosten wie Löhne und Material für das Fertigen der Schuhe anfangs 1,5 Mio. € betragen. Pro Jahr steigen diese Kosten um 200.000 €. Ein Paar Schuhe kostet 90 €. Die Leitung schätzt die folgenden Verkaufszahlen (Paare jeweils bis zum Ende des Jahres):

t      Verkaufszahlen
 1     50.000
 2     80.000
 3    150.000
 4    250.000
 5    250.000
 6    200.000
 7    150.000
 8    100.000
 9     70.000
10     50.000

Die Finanzabteilung von Adebar hat einen Kalkulationszinsfuß von 12% festgelegt. Ist die Investition rentabel?

Aufgabe 6

Fatima hat bei einer Entwicklungshilfe-Einrichtung einen Kleinkredit von 200 $ aufgenommen, den sie nach fünf Jahren zurückzahlen soll. Die Verzinsung (i = 0,036 p.a.) erfolgt monatlich.

Wieviel muss sie am Ende des fünften Jahres zahlen?
Welchem jährlichen Effektivzins entspricht das?
Was müsste sie zahlen, wenn sie schon nach 2,5 Jahren den Kredit zurückzahlte?
Was würde Fatima nach fünf Jahren zahlen, wenn in den ersten zwei Jahren die Verzinsung halbjährlich und in den weiteren drei Jahren monatlich erfolgte?

Aufgabe 7

Bei volkswirtschaftlichen Modellen geht man aus praktischen Gründen häufig von stetiger Verzinsung aus. Auf wieviel würde ein Kapital von 5 Mio. € nach 10 Jahren bei einem Zinsfuß von 4% hier anwachsen?

Aufgabe 8

Graf Bobby hat bei einem illegalen Wettrennen den Porsche seines Freundes Mucki zerlegt. Da dieses Malheur nicht durch Versicherungen abgedeckt ist, will Bobby ihm den Schaden von 60.000 € in 5 jährlichen Raten, zahlbar am Jahresende, von je 14.000 € abstottern. Der Zinsfuß ist mit 3% zu veranschlagen.

Was hätte Mucki nach 5 Jahren auf dem Konto? Welchem Barwert entspricht diese Zahlungsreihe?
Was hätte Mucki auf dem Konto, wenn die Zahlung vorschüssig erfolgte?
Welchem Barwert entspräche das?
Welche Rate müsste Bobby bei nachschüssiger Zahlungsweise zahlen, damit der Schaden genau abgedeckt wäre?

Aufgabe 9

Carla bekommt seit ihrem zehnten Geburtstag eine monatliche Waisenrente von 500 €, zahlbar am Ende des Monats. Da Carla bei ihrer großzügigen Tante leben kann, wird das Geld sofort bei einem jährlichen Zinsfuß von 3,6 % angelegt.

Was hat Carla nach 8 Jahren auf dem Konto?
Welchem jährlichen Effektivzins entspräche das?
Was hätte sie auf dem Konto, wenn in den ersten vier Jahren 3,6 % und dann 4,8 % Zinsen anfielen?
Welchem jährlichen Effektivzins entspräche das?

Aufgabe 10

Paul hat einige landwirtschaftliche Flächen auf 10 Jahre verpachtet. Der jährliche Pachtbetrag beläuft sich auf 2000 €. Ausgegangen wird von 3% als Zinsfuß.

Was hat Paul nach 10 Jahren auf dem Konto?
Was ist diese Summe zu Beginn der Verpachtung wert?

Aufgabe 11

Paul will den ererbten Bauernhof seiner Eltern auf unbestimmte Zeit verpachten. Er geht von einem jährlichen Pachtbetrag von 30.000 € aus. Welchen Barwert hat die Pacht bei einem Zinsfuß von 4%?

Aufgabe 12

Tiffany möchte an der bekannten University of Derry ein Studium beginnen, dessen Dauer sie auf fünf Jahre veranschlagt. Um die jährlich anfallenden Studiengebühren von 15.000 $ zahlen zu können, möchte Tiffany Ererbtes ihrer Eltern verkaufen. Welchen Betrag müsste sie für ihren Verkauf erhalten, damit sie bei einem Zinsfuß von 5% die zu Anfang eines Jahres anfallenden Gebühren zahlen kann?

Aufgabe 13

Herbert hat den Kaufvertrag für einen hochwertigen Jahreswagen im Wert von 40.000 € unterzeichnet. Da stellt sich heraus, dass seine finanziellen Reserven zu klein sind. Der Händler bietet ihm an, den Wagen in 5 Jahresraten zu bezahlen, und zwar nachschüssig die ersten zwei Jahre je 5000 € und die restlichen drei Jahre je 10.000 €. Die jährlichen Zinsen bei einem Zinsfuß von 6% kommen noch dazu.

Stellen Sie einen Tilgungsplan auf.
Was hat Herbert an Zinsen bezahlt? Wie hoch sind die gesamten Anschaffungskosten am Ende des fünften Jahres?

Aufgabe 14

Ollie möchte sich eine neue Frittenbude für 30.000 € anschaffen. Seine Hausbank bietet ihm eine siebenjährige Annuitätentilgung bei einem Zinsfuß von 5% an. Die Annuität soll 5000 € betragen.

Stellen Sie einen Tilgungsplan auf.
Wieviel muss Ollie noch nachlegen?
Welche jährliche Rate müsste Ollie zahlen, damit Zahlung genau aufgeht?

Aufgabe 15

Kevin und Samantha bauen sich ein Nest für ihre geplante Familie. Dafür brauchen sie einen Kredit über 200.000 €, den sie sich bei der Hippobank besorgen. Der gültige Zinsfuß beträgt 4,8% p.a. Der Kredit soll als Annuitätentilgung 20 Jahre laufen. Die Annuitäten sind monatlich zu zahlen und betragen 1250 €. Was müssen die beiden am Ende des 20. Jahres noch drauflegen?

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