Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler: Ökonomische Funktionen

Für die Nachstellung komplexer Prozesse im wirtschaftlichen Bereich verwendet man Modelle. Ein Modell ist die vereinfachte Abbildung eines realen Sachverhalts. Vor allem wird auf die Wiedergabe von Details verzichtet, weil sie den Blick auf das Wesentliche verstellen. So werden nur wenige Modellvariablen betrachtet. Häufig werden die Beziehungen dieser Variablen in analytischen Funktionen wiedergegeben. In der Realität mögen die Beziehungen zwischen den Variablen nicht funktional abhängig sein, aber die Interpretation als Funktion erleichtert die Analyse, weil beispielsweise mit Funktionen auf einfachem Wege das Änderungsverhalten von Variablen, deren Maxima usw. beobachtet werden können.

Für den Wirtschaftswissenschaftler sind vor allem die so genannten ökonomischen Funktionen von Interesse. Mit ihnen können beispielsweise Unternehmensprozesse nachgebildet werden und Handlungsalternativen auf ihre Folgen hin untersucht werden. Häufig sind diese Funktionen sehr einfach gehalten.

Schlagworte sind hier u.a.

• Grenzfunktion (Grenzkosten, Grenzertrag usw.), die angibt, um wieviel sich der Funktionswert ändert, wenn die unabhängige Variable um eine infinitesimal kleine Einheit steigt.
• Elastizität, die die relative Änderung der Funktion bei einer relativen Änderung der unabhängigen Variablen angibt.

Ausgewählte Funktionsklassen sind

• Angebots- und Nachfragefunktionen
• Produktionsfunktionen
• Umsatz-, Kosten- und Gewinnfunktionen.

Vor allem in Mikroökonomie werden diese Funktionen zur Erklärung des Handelns von Individuen in einem volkswirtschaftlichen System eingesetzt. Aber auch in der Betriebswirtschaft dienen sie zur Unterstützung von Entscheidungen.

Es werden hier ausgewählte ökonomische Funktionen vorgestellt. Auf volkswirtschaftliche Annahmen zur Konsistenz von abgeleiteten Theorien soll aber verzichtet werden. Das wäre in einem Lehrwerk über Mikroökonomie angebracht. Es sind vorläufig lediglich zwei Voraussetzungen sinnvoll:

• Die betrachteten Variablen sind stetig.

Sie können also beliebig kleine Änderungen erfahren. Auch wenn beispielsweise eine Variable, etwa ein produziertes Gut, nur ganzzahlig sein kann, wird sie im Modell als kontinuierlich angenommen, um eine differenzierbare Funktion zu erhalten. Sonst ergäbe sich eine Treppenfunktion, die in der Regel unhandlich ist.

• Die betrachteten Variablen sind meistens nichtnegativ.

Diese Annahme ist sachlogisch begründet. Produktionsmengen oder Preise sind nun einmal mindestens Null. Es können mitunter auch negative Variablen auftreten, etwa ein Verlust statt eines Gewinns.

Der ökonomische Definitions- und Wertebereich einer Funktion kann von den mathematischen abweichen. So kann eine Funktion als mathematischen Definitionsbereich die Menge der reellen Zahlen haben, aber als ökonomischen Defintionsbereich die Menge der nichtnegativen reellen Zahlen.

Preis-Absatz-Funktion

Lineare Preis-Absatz-Funktion

Hyperbolische Preis-Absatz-Funktion

Eher realistische Preis-Absatz-Funktion

Umkehrfunktion p(x) der eher realistischen Preis-Absatz-Funktion

Im mikro-ökonomischen Modell unterscheidet man vor allem den polypolistischen Anbieter und den monopolistischen Anbieter.

Im Polypolismus produzieren sehr viele Anbieter das gleiche Gut. Deshalb gibt es für das Produkt nur einen Preis, den so genannten Gleichgewichtspreis p, bei dem sich Anbieter und Nachfrager treffen.

Im Monopolismus hat ein Produzent eine marktbeherrschende Stellung. Er kann daher auf einer Preis-Absatz-Funktion operieren, die meistens fallend ist. Je höher der Preis, desto geringer also die Nachfrage. Der Monopolist wird den Preis wählen, der seinen Gewinn maximiert.

Eine einfache, aber häufig für Beispiele verwendete Art der Preis-Absatz-Funktion ist die lineare Funktion. Diese Form ist aber eher unrealistisch, denn man kann erwarten, dass Nachfrageänderungen nicht konstant über den gesamten Definitionsbereich sind. Man erwartet eher, dass beispielsweise bei sehr niedrigen Preisen die Nachfrage überproportional steigt.

In mikroökonomischer Hinsicht ist die hyperbolische Preis-Absatz-Funktion besser geeignet.

Man geht hier von einem Gut mit hohem Nutzen aus und von "vernünftig" handelnden Individuen. Geht der Preis gegen Null, müsste bei vernünftig handelnden Individuen die Nachfrage gegen Unendlich gehen. Wird der Preis sehr hoch, konvergiert die Nachfrage gegen Null. Wenn das Gut einen hohen Nutzen hat, wird es aber immer noch Individuen geben, die es kaufen wollen. Deshalb wird die Nachfrage niemals Null werden.

Eine etwas realitätsnähere Synthese bietet die konvexe Preis-Nachfrage-Funktion mit Absolutglied und Nullstelle an. Der Schnittpunkt mit der Ordinate ("y-Achse") gibt die Sättigungsgrenze für das Gut an und der Schnittpunkt mit der Abszisse ("x-Achse") den Preis an, der als Schmerzgrenze für die Konsumenten gilt.

Da bei ökonomischen Funktionen die Menge x meistens als unabhängige Variable fungiert, wird in der Regel die Umkehrfunktion p = p(x) für die Analyse verwendet. Beispielsweise war die "abgemilderte" hyperbolische Preis-Absatz-Funktion

$x=x(p)={\frac {1}{e^{p-2}}}-2$.

Wenn wir sie nach p auflösen, erhalten wir

$p=p(x)=2-ln(x+2)$.

Produktionsfunktion

Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion

Gesamtansicht des Polynoms

Im ökonomischen Mikrokosmos werden Güter durch den Einsatz von Produktionsfaktoren hergestellt. Im volkswirtschaftlichen Kontext handelt es sich dabei häufig um die Faktoren Arbeit und Kapital, wobei auch als ein zusätzlicher dritter Faktor Grund und Boden oder technologischer Fortschritt in das Modell eingebracht werden kann. Die Produktionsfunktion vertritt also den technischen Aspekt in der Welt der ökonomischen Funktionen. Sie gibt an, wieviel Output x = x(r) durch Einsatz einer bestimmten Menge Input r erzeugt werden kann. Einfache Produktionsfunktionen sind Funktionen mit einer unabhängigen Variablen r.

Ertragsgesetzliche Produktionsfunktion

Den Klassiker stellt die ertragsgesetzliche Produktionsfunktion dar. Sie wurde von dem Landwirt und Wirtschaftswissenschaftler v. Thünen entwickelt.

Beispiel einer ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion:

V. Thünen vor Augen betrachten wir ein Beispiel aus der Landwirtschaft. Eine große Anbaufläche mit der Zuckerrübensorte Angela soll einen speziellen Kunstdünger erhalten. Der Ertrag dieser Anbaufläche x in Tonnen hängt von der Düngergabe r in Kilo ab. Wir gehen von der Produktionsfunktion x = x(r) aus, wobei r die die Menge des ausgebrachten Düngers und x der Zuckerrübenertrag ist,

$x(r)=0,001\cdot (-0,05\cdot r^{3}+8\cdot r^{2}+20\cdot r)$

Anhand der Grafik untersuchen wir die typischen Eigenschaften der Produktionsfunktion. Wir sehen, dass zuerst die Funktion steil ansteigt, dass sich dann aber der Anstieg abschwächt. Schließlich erreicht die Funktion ein Maximum und weitere Inputs bewirken ein Absinken des Outputs.

Diese Eigenschaften lassen sich für das ausgewählte Beispiel gut erklären: In der ersten Phase bewirken die Düngergaben überproportional steigende Erträge, mit jeder zusätzlichen Einheit Dünger steigen die Ertragszuwächse. In der zweiten Phase steigt zwar der Ertrag mit jeder Düngergabe immer noch an, aber die Zuwächse nehmen ab. Der Boden nähert sich der Sättigung. Schließlich werden weitere Düngergaben kontraproduktiv, der Ertrag fällt wieder, bis auf Null.

Könnte man den Ertrag bei diesen Düngermengen doch noch steigern? Ja, beispielsweise, wenn wir mehr Land bebauen. Die Produktionsfunktionen mit einer unabhängigen Variablen haben also dann ihre typische Form, wenn alle anderen Produktionsfaktoren unverändert bleiben. Man nennt die Betrachtung einer Variablen bei Konstanz aller anderen unabhängigen Variablen eine Ceteris-Paribus-Betrachtung.

Analyse der ertragsgesetzlichen Produktionsfunktion

Definitionsbereich und Wertebereich

Mathematisch: Als Polynom ist x(r) für alle reellen Zahlen definiert. Und wegen der ungeradzahligen Ordnung deckt der Wertebereich die reellen Zahlen ab.

Ökonomisch: Sachlogisch sinnvoll sind hier positive In- und Outputs. Es sollen also x und r mindestens Null sein. Ein Blick auf die Grafiken der Produktionsfunktion zeigt uns, dass wir die Nullstellen der Funktion

$x(r)=0,001\cdot (-0,05\cdot r^{3}+8\cdot r^{2}+20\cdot r)$

brauchen. x(r) ist ein Polynom dritten Grades und verläuft von links oben nach rechts unten. In $r_{1}=0$ ist eine Nullstelle. Für die weitere Vorgehensweise teilen wir $x(r)=0$ durch r:

$0,001\cdot (-0,05\cdot r^{2}+8\cdot r+20)=0,$

was mit Hilfe der quadratischen Ergänzung die Lösungen

$r_{2}=80+{\sqrt {6800}}=\approx 162,46$ und $r_{3}=80-{\sqrt {6800}}=\approx -2,46$ ergibt. Die Lösung -2,46 ist ökonomisch nicht sinnvoll und wird ausgesondert. Also ist die Obergrenze von r 162,46 und wir erhalten als Definitionsbereich

$0\leq r\leq 162,46$.

Welche Werte kann die abhängige Variable x = x(r) annehmen? Wir fordern wieder für x die Nichtnegativität $x\geq 0$. Für den größten Wert von x müssen wir das Maximum ermitteln:

Die erste und zweite Ableitung sind

$x'(r)=0,001\cdot (-0,15\cdot r^{2}+16\cdot r+20)$

bzw.

$x''(r)=0,001\cdot (-0,3\cdot r+16)$.

Nullsetzen der ersten Ableitung ergibt dann die Lösungen $r_{4}=107,90$ und $r_{5}=-1,24$. Hier kommt nur $r_{4}$ in Betracht. Mit $r=107,90$ kg des Düngers lassen sich dann $x(107,90)=32,49$ to Zuckerrüben Angela erzeugen. Da diese Lösung, eingesetzt in die zweite Ableitungsfunktion von x

$x''(107,90)=0,001\cdot (-0,3\cdot 107,90+16)<0$

ist, haben wir hier das Maximum der Produktionsfunktion vorliegen.

Der Wertebereich der Produktionsfunktion ist also

$0\leq x\leq 32,49$

Wir suchen gegebenenfalls Wendepunkte durch Nullsetzen der zweiten Ableitung

$x''(r)=0,001\cdot (-0,3\cdot r+16)$

mit der Lösung $x_{6}=53,33$. Die dritte Ableitung ist $x'''(r)=-0,3$. Sie ist ungleich Null und daher existiert an dieser Stelle ein Wendepunkt.

Teilen wir den Definitionsbereich in Intervalle ein und betrachten wir die Eigenschaften von x(r):

        Phase 1                     Phase 2                      Phase 3            
0 -------------------- 53,33 ----------------------  107,90 -------------------- 162,46
    x steigt stark    Wendepunkt  x steigt schwach   Maximum        x fällt
       x' > 0          x' > 0          x' > 0                       x' < 0
       x'' > 0         x'' = 0         x'' < 0                      x'' < 0 

In der Phase 1 steigt die Funktion stark. Die erste Ableitung ist größer als Null, weil x(r) steigt. Es steigen aber auch die Zuwächse der Produktionsfunktion mit steigendem r, d.h. die Grenzertragsfunktion x' steigt. Die erste Ableitung der Grenzfunktion ist x''. Deshalb ist x'' größer als 0.

Ab dem Wendepunkt 53,33 kommt die Phase 2. Jetzt ändert sich das Verhalten von x. x(r) steigt zwar noch, aber die Zuwächse fallen. Deshalb ist die erste Ableitung noch positiv, aber fallend. Also muss die zweite Ableitung von x jetzt negativ sein. Die Grenzerträge sinken solange, bis sie Null werden. Das ist das Maximum x(107,90).

In der dritten Phase fällt dann die Ertragsfunktion x. Also ist die erste Ableitung negativ, und auch zunächst mal fallend. Die zweite Ableitung ist immer noch negativ. Sie würde erst nach einem weiteren Wendepunkt wieder positiv werden.

Neoklassische Produktionsfunktion

Die Neoklassik bestimmte in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts die volkswirtschaftliche Theorie. Das Konzept der abnehmenden Grenzerträge war eine der wissenschaftlichen Grundlagen. Von der Intention her kann die neoklassische Produktionsfunktion nur steigen, aber sie hat von Anfang an abnehmende Grenzerträge. Es muss für jede Einheit Output immer etwas mehr Input aufgewendet werden. Sie ist also streng monoton steigend und hat in allen Punkten eine negative zweite Ableitung.

Ein typisches neoklassisches Beispiel dazu ist eine Volkswirtschaft, deren Sozialprodukt mit Hilfe von Arbeit und Kapital gebildet wird. Werden bei gleichbleibender Kapitalausstattung weitere Arbeiter eingestellt, steigt das Volkseinkommen, aber mit jedem Arbeiter wird der zusätzliche Ertrag kleiner. Nur, wenn auch das Kapital steigt, kann das Einkommen deutlich erhöht werden.

Beispiel einer neoklassischen Produktionsfunktion

In einem kleinen Land wird ein Gut mit dem Einsatz von Kapital C und Arbeit L produziert. Die Produktionsfunktion ist

$x=4\cdot L^{0,6}.$

Erste und zweite Ableitung sind hier

$x'=4\cdot 0,6\cdot L^{-0,4}=2,4\cdot L^{-0,4}$

bzw.

$x''=4\cdot 0,6\cdot (-0,4)\cdot L^{-1,4}=-0,96\cdot L^{-1,4}.$

Man sieht, dass x(L) streng monoton steigend ist, dass aber die Grenzerträge fallen.

Weitere Schlagworte:

• CES-Produktionsfunktion
• Cobb-Douglas-Produktionsfunktion
• limitationale Produktionsfunktion
• substitutionelle Produktionsfunktion

Kostenfunktion

Wir wollen zunächst von der Produktionsfunktion ausgehen. Die Produktionsfunktion x(r) gibt an, wie viel Output bei einem bestimmten Input hervorgebracht wird. Umgekehrt kann man sich auch überlegen, wie viel Input man für eine festgelegte Menge Output braucht. Das wäre die Funktion r(x), was die Umkehrfunktion der Produktionsfunktion darstellt, so weit diese umkehrbar ist.

Betrachten wir als Beispiel die neoklassische Produktionsfunktion. Ihre Umkehrfunktion ist

$L(x)=({\frac {x}{4}})^{\frac {10}{6}}$.

Wenn z.B. eine Produktion von 20 Einheiten geplant ist, werden $L(x)=({\frac {20}{4}})^{\frac {10}{6}}=14,62$ Arbeitseinheiten benötigt.

Die von der Ausbringungsmenge abhängigen Produktionskosten sind dann Produktionsmenge * Preis. Nehmen wir an, dass eine Arbeitseinheit 100 € kostet. Dann würden hier Kosten von $14,62\cdot 100=1462$ € entstehen.

Bei den Kosten werden zunächst mal fixe und variable Kosten unterschieden.

Fixe Kosten sind nicht vom Output abhängig, sie entstehen auch, wenn nichts produziert wird. Fixe Kosten sind beispielsweise Miete für eine Fabrik, Löhne von festangestellten Mitarbeitern, Versicherungen etc.

Variable Kosten sind vom Output abhängig, wie Materialkosten, Abnutzung von Maschinen usw.

Die Gesamtkosten $K$ setzen sich also zusammen aus den fixen Kosten $K_{f}$ und den variablen Kosten $K_{v}$:

$K(x)=K_{f}+K_{v}(x).$

Es gibt in der Realität auch Mischformen der Kosten, was hier aber vernachlässigt wird.

Zu den klassischen Produktionsfunktionen gibt es analog zu den obigen Überlegungen die Äquivalente der Kostenfunktion. Die variable Kostenfunktion ist die Umkehrfunktion der Produktionsfunktion, falls die Abbildungen bijektiv sind. Sie spiegeln sich dann an der Winkelhalbierenden.

Beispiel der Herleitung einer Kostenfunktion aus einer Produktionsfunktion

Ein Unternehmen fördert Gold in einer Mine. Die Energie r (in MWh), die für die geförderte Tagesmenge x (in kg) benötigt wird, berechnet sich mit Hilfe der Produktionsfunktion

$x(r)=\lg(r+1)\cdot 100$.

Die Funktion ist neoklassisch. Jede zusätzliche Megawattstunde Energie erzeugt immer kleinere Ertragszuwächse. Eine Megawattstunde Energie kostet 150 €.

Für die Ermittlung der Kostenfunktion benötigen wir die Umkehrfunktion von x(r):

$r(x)=10^{\frac {x}{100}}-1$.

Die variablen Kosten berechnen sich als Faktorpreis*Produktionsfaktor, $K_{v}=150\cdot r$, also

$K_{v}(x)=150\cdot (10^{\frac {x}{100}}-1)$.

Es ist bekannt, dass die Fixkosten pro Tag 20.000 € betragen. Die Funktion der Gesamtkosten ist dann

$K(x)=20.000+150\cdot (10^{\frac {x}{100}}-1)$.

Typen von Kostenfunktionen

Zu den oben erläuterten Produktionsfunktionen existieren auch die Äquivalente der Kostenfunktion. Steigende Grenzerträge verursachen fallende Grenzkosten und fallende Grenzerträge verursachen steigende Grenzkosten.

Ertragsgesetzliche Kostenfunktion

Analog zu oben ist die ertragsgesetzliche Kostenfunktion erst schwach steigend, dann stark steigend. Der Bereich der Produktionsfunktion nach dem Maximum muss nicht mehr abgebildet werden, da er wegen der fallenden Erträge wirtschaftlich unsinnig ist.

Beispiel einer ertragsgesetzlichen Kostenfunktion

$K(x)=x^{3}-30x^{2}+310x+3000$.

Neoklassische Kostenfunktion

Da hier für jede weitere Einheit Output der zusätzliche Input erhöht werden muss, verschlechtert sich die Kostensituation bei steigendem x laufend. Die Kostenfunktion ist also streng monoton steigend. Ihre zweite Ableitung ist positiv. Ein Beispiel dafür ist die obige Funktion.

Lineare Kostenfunktion

Die Kostenfunktion ist hier eine Gerade und steigt konstant mit wachsendem x. Sie kann sich dann ergeben, wenn alle weiteren Produktionsfaktoren beliebig verfügbar sind. Ein Beispiel wäre etwa

$K(x)=1000+3\cdot x$.

Durchschnittskosten

Von Interesse ist auch häufig die Funktion der Durchschnittskosten k(x), abhängig von der Ausbringungsmenge. Sie berechnet sich sehr einfach als

$k(x)={\frac {K(x)}{x}}$

also im Beispiel der obigen ertragsgesetzlichen Kostenfunktion als

$K(x)={\frac {x^{3}}{x}}-{\frac {30x^{2}}{x}}+{\frac {310x}{x}}+{\frac {3000}{x}}$

$=x^{2}-30x+310+{\frac {3000}{x}}$.

Man sieht, dass im Fall der linearen Kostenfunktion $K(x)=a+b\cdot x$ die Durchschnittskostenfunktion gegen b konvergiert.

Gewinnmaximum

Die Produktion eines Unternehmens wird wohl in aller Regel auf die Gewinnmaxmierung abzielen, obwohl kurzfristig auch noch weitere Ziele eine Rolle spielen können, wie etwa die Hebung des Ansehens durch Sponsoring etc.

Dazu wollen wir uns zunächst ansehen, wie Gewinn entsteht. Im vereinfachten Modell stellen Unternehmen etwas her und verkaufen es. Bei der Herstellung entstehen Kosten und beim Verkauf entsteht ein Umsatz, häufig auch Erlös genannt. Der Gewinn ist also, was vom Umsatz übrigbleibt, wenn die Kosten abgezogen werden, also

$G(x)=U(x)-K(x)$,

wobei U und G die Umsatz- resp. Gewinnfunktion bezeichnen, beide wieder abhängig von x.

Polypolistisches Anbietermodell

Im polypolistischen Anbietermodell wird der Umsatz vom Einheitspreis bestimmt. Da sich der Umsatz als Preis*Menge bestimmt, ist hier die Umsatzfunktion linear:

$U(x)=p\cdot x$

Für unser Beispiel soll der Gleichgewichtspreis für eine Einheit des produzierten Gutes 410 € betragen. Verwenden wir als Kostenfunktion die ertragsgesetzliche von oben. Dann ergibt sich die Gewinnfunktion G(x)

$G(x)=U(x)-K(x)=410\cdot x-(x^{3}-30x^{2}+310x+3000)=-x^{3}+30x^{2}+100x-3000$.

Gewinnmaximum bei ertragsgesetzlicher Kostenfunktion

In der dazugehörigen Grafik sind U, K und G zusammen dargestellt. Die Gewinnfunktion G ist exakt die Differenz Umsatzfunktion U minus Kostenfunktion K. Wir erkennen, dass die Gewinnfunktion nur dann positiv sein kann, wenn der Umsatz die Kosten übersteigt. Der ovale Bereich, in dem U > K ist, nennt man die Gewinnlinse. Der Punkt, in dem zum ersten Mal Gewinn eingefahren wird, nennt man die untere Gewinnschwelle. Den Punkt, in dem die Kosten wieder den Umsatz übersteigen, die obere Gewinnschwelle oder Gewinnschranke. Alle Punkte in dieser resultierenden Linse sind realisierbare Gewinne. Betriebswirtschaftlich interessant ist in der Regel die Produktionsmenge, bei der das Gewinnmaximum erzielt wird.

Wir wollen nun die Gewinnschwellen ermitteln. Dafür benötigen wir die Nullstellen der Gewinnfunktion. Da wir ein Polynom dritten Graden vorliegen haben, werden die Nullstellen hier vorgegeben. Die Gewinnfunktion wird Null bei $x=-10$, $x=10$ und $x=30$. Sachlogisch relevant sind die beiden letzteren. Die Gewinnzone liegt also im Bereich $10<x<30$.

Bemerkung: Wieso wissen wir, dass es sich bei diesem Bereich um die Gewinnzone handelt? Überlegen Sie, warum.

Es soll die gewinnmaximale Ausbringungsmenge berechnet werden. Das Gewinnmaximum befindet sich da, wo die Breite der Gewinnlinse am höchsten ist. Wir müssen nun also die Extremwerte der Gewinnfunktion ermitteln. Wir wollen uns zunächst mal einige Ableitungen von G(x) notieren:

$G'(x)=-3x^{2}+60x+100$.

$G''(x)=-6x+60$

Wir ermitteln nun die Nullstellen von G'(x) als

$G'(x)=-3x^{2}+60x+100{\overset {!}{=}}0$

mit den Lösungen $x_{1}=10-{\sqrt {\frac {400}{3}}}\approx -1,55$ und $x_{2}=10+{\sqrt {\frac {400}{3}}}\approx 21,55$. Für uns ist nur der positive Wert von Interesse. Wir wollen nun prüfen, um welche Art Extremum es sich handelt. Es ist

$G''(x_{2})\approx -6\cdot 21+60<0.$

Wir haben also tatsächlich ein Gewinnmaximum vorliegen.

Monopolistisches Anbietermodell

Hier operiert der Anbieter auf einer Preis-Absatzfunktion. Ansonsten wird wie im obigen Beispiel vorgegangen.

Nehmen wir an, der Anbieter sieht sich mit der Preis-Absatz-Funktion

$p(x)=886-24x$

konfrontiert. Da der Umsatz sich als Produkt von verkaufter Menge und Preis berechnet, erhalten wir die Umsatzfunktion als

$U(x)=p(x)\cdot x=(886-24x)\cdot x=886x-24x^{2}.$

Gewinnmaximierung bei ertragsgesetzlicher Kostenfunktion

Die Grafik zeigt, dass die Umsatzfunktion klein wird bei wenig nachgefragter Menge. Hier ist der Preis zu hoch. Doch auch bei einer hohen nachgefragten Menge wird der Umsatz klein, denn hier ist der Preis zu niedrig.

Für die Kostenfunktion verwenden wir wieder den Typ wie oben, nur dass wir anstelle der Fixkosten 3000 den Wert 3456 verwenden. Das hat den rein kosmetischen Grund, dass sich dann ganzzahlige Kennwerte ergeben, also

$K(x)=x^{3}-30x^{2}+310x+3456$.

Die Gewinnfunktion ist nun

$G(x)=U(x)-K(x)=886x-24x^{2}-(x^{3}-30x^{2}+310x+3456)=-x^{3}+6x^{2}+576x-3456$.

Für die Ermittlung der Gewinnschwellen benötigen wir wieder die Nullstellen von G(x), die $-24$, $6$ und $24$ betragen. Wie auch die Grafik zeigt, macht der Anbieter im Intervall $6<x<24$ Gewinn.

Wir wollen nun das Gewinnmaximum bestimmen. Wir erhalten die Ableitungen

$G'(x)=-3x^{2}+12x+576$.

$G''(x)=-6x+12$

Wir ermitteln die Nullstellen von G'(x) als

$G'(x)=-3x^{2}+12x+576{\overset {!}{=}}0$

mit den Lösungen $x_{1}=2-14=-12$ und $x_{2}=2+14=16$. Für uns ist nur der positive Wert von Interesse. Wir wollen nun prüfen, um welche Art Extremum es sich handelt. Es ist

$G''(x_{2})=-6\cdot 16+12<0.$

Wir haben also ein Gewinnmaximum vorliegen. Die gewinnmaximale Ausbringungsmenge lässt sich bei einem Preis

$p*=p(16)=886-24\cdot 16=502$

erzielen. Der Gewinn beträgt dann

$G*=G(16)=-16^{3}+6\cdot 16^{2}+576\cdot 16-3456=3200.$

Das Wertepaar im Gewinnoptimum des monopolistischen Anbieters, $(x*;p*$), wird als Cournotpunkt bezeichnet. Das wäre hier $(x*;p*)=(16;502$)

Übungen

1. Berechnen Sie die Umkehrfunktion $p(x)$ von $x=x(p)={\frac {1}{e^{p-2}}}-2$. Ermitteln Sie die mathematischen und ökonomischen Definitions- und Wertebereiche.

2. Ermitteln Sie gegebenenfalls Nullstellen, Extremwerte und Wendepunkte der ertragsgesetzlichen Kostenfunktion wie oben angegeben. Untersuchen Sie, wie sich erste und zweite Ableitung verhalten.

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