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Mit dem Zählen fängt für jeden von uns schon im Kindesalter der problemlose Einstieg in die Mathematik an. Um auszudrücken, welche Zahlen wir schon kennen und mit welchen Zahlen wir rechnen möchten, ist es sinnvoll, sie nicht einfach jedes Mal alle aufzuzählen. Man sagt dementsprechend: "Ich kann schon bis 100 zählen", und jeder weiß damit, welche Fülle, welche Menge an Zahlen ein Kind schon kennt, ohne sie alle genannt zu bekommen.

Im Laufe der Schulzeit wird die Menge an Zahlen, die Zahlenmengen, die Schüler kennenlernen und zu benutzen lernen immer größer. Diesem Ablauf folgend werden zunächst die beiden Mengen für Grundschüler und darauf aufbauend die Mengen für Schüler weiterführender Schulen erklärt.

Menge der natürlichen Zahlen ($\mathrm {\,I\!N}$)

Natürliche Zahlen von Anfang an

Zunächst kann man vielleicht bis 10 zählen, dann bis 100, bis Tausend. Das kann man noch stolz den Eltern oder Freunden vorzählen. Dann erfährt man, was eine Million ist, und behauptet, dass man bis 1ne Million zählen kann. Aber wenn man das wirklich könnte, stünde man im Guinness-Buch der Rekorde, weil man danach zwei Wochen nicht geschlafen hätte.

Sagen wir also besser: "Wir kennen die Zahlen 1, 2, 3 und so weiter bis 1ne Million". Später hören wir, dass 1000 Millionen eine Milliarde sind und man immer noch weiterzählen könnte. Wie man 1000 Milliarden mit Ziffern schreibt (1000000000000), wissen wir noch bevor wir die Bezeichnung "Billion" dafür kennen. Egal welche Ziffernfolge, also Zahl, wir aufschreiben, man könnte von dort aus immer noch weiterzählen. Da das Weiterzählen also nie aufhören muss, sagen wir auch nicht mehr, "wir können mit den Zahlen 1, 2, 3, usw. bis eine Billion rechnen" (z.B. Eins hinzuzählen), sondern: "Wir können mit den Zahlen 1, 2, 3, ... (und immer so weiter) rechnen".

In der Mathematik heißt es sogar noch kürzer: "Wir rechnen mit den natürlichen Zahlen". Die natürlichen Zahlen sind also ganz einfach die Zahlen { 1, 2, 3, usw. } und da einigen das immer noch nicht kurz genug ist, hat man sich auf das Kurzzeichen $\mathrm {\,I\!N}$ geeinigt und meint damit die natürlichen Zahlen. Oft sieht man auch das Zeichen $\mathbb {N}$, falls beim Druck kein doppelter Aufstrich möglich ist. Falls keines der beiden Zeichen möglich ist, wird manchmal auch wie früher einfach nur ein fett gedrucktes $\mathbf {N}$ verwendet.

Wenn eines dieser Zeichen also nur eine Abkürzung ist, dann bedeutet dieses Zeichen genau dasselbe wie die Zahlenmenge { 1, 2, 3, usw. } selbst, ist also gleich, und Gleichheit schreiben wir in der Mathematik so:

$\mathrm {\,\,I\!N} =\{1,2,3,4,5,...\}$.

Natürliche Zahlen sind also alle Zahlen, die man bekommt, wenn man bei 1 anfängt zu zählen und immer wieder 1 hinzugezählt. Da man nie an ein Ende stößt und immer weiterzählen könnte, ist diese Zahlenmenge also ohne Ende. Man sagt dann, die Menge der natürlichen Zahlen ist unendlich groß und enthält unendlich viele Zahlen.

Die kleinste natürliche Zahl ist die 1. Leider wird dies in der Welt nicht überall gleich gesehen. Manche Mathematiker meinen, dass die Null genauso natürlich ist und immer dazugehört. In diesem Buch wollen wir uns aber an die an Schulen übliche Festlegung halten, bei der es für die Zahlenmenge der natürlichen Zahlen mit der Null ein eigenes Zeichen gibt:

$\mathrm {\,I\!N} _{0}=\{0,1,2,3,4,5,...\}$.

Genau wie die hier unten angehängte Null findet man manchmal auch andere Indizes (unten angehängte Zahlen) und meint dann damit jeweils die Menge der natürlichen Zahlen ab diesem Index, z.B. $\mathrm {\,I\!\!.N} _{32}=\{32,33,34,35,...\}$. Da dies aber wenig verbreitet ist, sollte man selbst diese Bezeichnungen aber besser nicht verwenden.

Jede natürliche Zahl hat genau einen Nachfolger. Diese Nachfolgerzahl ist einfach die, die man erhält, wenn man um Eins weiterzählt, also 1 hinzuaddiert. Mathematisch kann man sagen: "Ist n eine beliebige natürliche Zahl, so ist die Nachfolgerzahl hierzu die Zahl n + 1."

Rechnen mit natürlichen Zahlen

Werden zwei Zahlen mit Hilfe von Rechenoperatoren zu einer Zahl als Ergebnis verknüpft, so spricht man von "Rechnen". Die Grundrechenarten sind die Addition, die Subtraktion, die Multiplikation und die Division. Es werden folgende Bezeichnungen benutzt:

Addition: Summand + Summand = Summe

         a       + b       = c

Subtraktion: Minuend - Subtrahend = Differenz

         a       - b       = c

Multiplikation: Faktor * Faktor = Produkt

         a       * b        = c

Division: Dividend : Divisor = Quotient

         a       : b        = c

Wendet man diese Rechenoperationen auf natürliche Zahlen an, so erkennt man, dass nicht alle Rechenoperationen unbeschränkt ausführbar sind. Ist a < b, so kann a - b nicht gelöst werden. Möchte man die Subtraktion auch in solchen Fällen ausführen, muss man sich neue Zahlen ausdenken, um dieses "unnatürliche" Ergebnis doch noch irgendwie hinschreiben zu können. Diese Zahlen hat sich natürlich schon jemand ausgedacht und sie auch gleich mit den natürlichen Zahlen zusammen in eine neue Zahlenmenge gesteckt. Mehr dazu im nächsten Kapitel.

Menge der ganzen Zahlen ($\mathbb {\,Z}$)

Die Menge der ganzen Zahlen hat in der Mathematik das Kurzzeichen $\mathbb {\,Z}$. Sie enthält alle Zahlen, die als Ergebnis entstehen können, wenn man zwei natürliche Zahlen voneinander abzieht (subtrahiert):

$\mathbb {Z} =\{...;-3;-2;-1;0;1;2;3;...\}$.

Damit enthält also $\mathbb {\,Z}$ alle natürlichen Zahlen, die Null und alle (negativen) Gegenzahlen der natürlichen Zahlen.

Es gibt auch die Eigenschaft ganzzahlig, wenn man in der Mathematik sagen möchte, dass Zahlen oder Ergebnisse Elemente der Menge $\mathbb {\,Z}$ sind.

In der Zahlenmenge $\mathbb {\,Z}$ sind Addition, Subtraktion und Multiplikation uneingeschränkt durchführbar. Das heißt, man kann je zwei Zahlen aus $\mathbb {\,Z}$ nehmen, diese Addieren, voneinander Subtrahieren oder miteinander Multiplizieren, und man erhält immer ein Ergebnis, das wieder in $\mathbb {Z}$ zu finden ist.

Die Division ist aber nicht immer möglich. Zum Beispiel kann man zwar -10 durch 5 teilen und hat das Ergebnis -2 in $\mathbb {\,Z}$, aber schon das Ergebnis von 1 durch 2 ist nicht enthalten. Eine Menge, die diese Lücken nicht mehr hat, wird dann im Abschnitt zur Menge der Rationalen Zahlen (${\mathsf {\,l}}\!\!\!\mathrm {Q}$) vorgestellt.

Manchmal wird die Menge der ganzen Zahlen noch eingeschränkt und das Kurzzeichen entsprechend verändert. So bezeichnet man die Menge aller ganzzahligen negativen Zahlen auch mit

$\mathbb {Z^{-}} =\{...;-3;-2;-1\}$,

die Menge aller negativen ganzen Zahlen mit der Null mit

$\mathbb {Z} _{0}^{-}=\{...;-3;-2;-1;0\}$,

die Menge aller nichtnegativen ganzen Zahlen mit

$\mathbb {Z} _{0}^{+}=\{0;1;2;3;...\}$ $(=\mathrm {\,I\!N} _{0})$,

die Menge aller positiven ganzen Zahlen mit

$\mathbb {Z^{+}} =\{1;2;3;...\}$ $(=\mathrm {\,I\!N} )$,

wobei die letzten beiden Bezeichnungen eigentlich überflüssig sind, da diese Mengen bereits mit den Symbolen $\mathrm {\,I\!N}$ und $\mathrm {\,I\!N} _{0}$ gleichgesetzt wurden. Häufig benötigt man auch noch die Menge der ganzen Zahlen ohne die Null. Für diese gibt es kein eigenes Zeichen, da die Mengenschreibweise ("Z ohne Null") schon kurz genug ist:

$\mathbb {Z} \setminus \{0\}=\{...;-3;-2;-1;1;2;3;...\}$.

Menge der rationalen Zahlen (ℚ)

Wenn man in der Mathematik "halbe Sachen" machen möchte, ist man schon "voll" in den rationalen Zahlen unterwegs. Jeder der dividieren, also teilen kann, weiß, dass die Hälfte von Eins keine "ganze Sache" mehr ist und damit auch nicht in den ganzen Zahlen gefunden werden kann.

Wenn man unter 4 Freunden 8 Kekse verteilen möchte, ist das "ganz" gerecht möglich. Hierzu muss man nur die ganzen Zahlen kennen (auch die natürlichen würden schon genügen) und könnte die Verteilung mit der Grundschuldivision lösen. Bei 17 Freunden und 391 Keksen geht dies übrigens auch.

Die Mathematik hilft einem aber auch, wenn man z.B. zu Viert nur 6 Kekse hat. Dazu muss man nicht nur Kekse teilen können, sondern auch alle (ganzen) Zahlen. Dies funktioniert mit den rationalen Zahlen. Während in den ersten Grundschuljahren nur einige Divisionsaufgaben aufgingen und notfalls ein Rest übrig blieb, wird man mit den Rechenregeln der rationalen Zahlen davon befreit, restliche Kekse wegschmeißen zu müssen.

Wie aus dem täglichen Leben bekannt, werden "halbe Sachen" mit 1/2 oder ${\tfrac {1}{2}}$ gekennzeichnet. Kann man also eine Zahl nicht teilen, lässt man einfach die Divisionsaufgabe als Ergebnis stehen. Dementsprechend kann man auch die Menge der rationalen Zahlen als Formel aufschreiben:

${\mathsf {\,\,l}}\!\!\!\mathrm {Q} =\{\,{\frac {a}{b}}\,\mid \,a\in \mathbb {Z} \,;\,\,b\in \mathrm {\,I\!\!.N} \,\}$.

Die Menge der Rationalen Zahlen ${\mathsf {\,l}}\!\!\!\mathrm {Q}$ (oder auch $\mathbb {Q}$) enthält u.A. die Menge der Bruchzahlen ($\mathrm {\,I\!B}$). Beispiele für ${\mathsf {\,l}}\!\!\!\mathrm {Q}$: -1/3, 2, -15, 5/8

In dieser Menge ist die Division uneingeschränkt durchführbar mit Ausnahme der Division durch 0. Es ist auch nicht durch eine erneute Zahlbereichserweiterung möglich ein Ergebnis für die Division durch 0 zu finden.

Menge der reellen Zahlen ($\mathrm {\,I\!R}$)

Wenn man ein Punkt auf der Zahlengerade betrachtet, zeigt sich das man dieser Punkt beliebig dicht annäheren kann mit rationaler Zahlen. Es gibt also keine richtige Lücken. Trotzdem ist nicht jeder Punkt eine rationale Zahl. Es gibt noch andere Zahlen, die man irrationale, d.h. nicht-rationale, Zahlen nennt.

Z.B. kann man keine rationale Zahl finden als Lösung für die Gleichung: $x^{2}=2$. Das kann einfach bewiesen werden. Unterstelle dazu dass es ganze Zahlen t und n gibt, so dass $({\tfrac {t}{n}})^{2}=2$ und der Bruch t/n nicht gekürzt werden kann. Es folgt:

$t^{2}=2n^{2}$,

also ist $t^{2}$ eine gerade Zahl. Aber dann muss auch t gerade sein, sagen wir $t=2s$. Dann ist:

$2n^{2}=(2s)^{2}=4s^{2}$,

und deshalb

$n^{2}=2s^{2}$,

also ist auch n eine gerade Zahl. Das ist im Gegenspruch mit der Unterstellung dass t/n nicht gekürzt werden kann, und deshalb kann die Lösung, die man √ 2 nennt, keine rationale Zahl sein.

Die Erweiterung der Menge der rationalen Zahlen (${\mathsf {\,l}}\!\!\!\mathrm {Q}$) mit die Menge der irrationale Zahlen, bildet die Menge der reellen Zahlen ($\mathrm {\,I\!R}$). In der Menge der reellen Zahlen hat die Gleichung $x^{2}=2$ die Lösung:

$x={\sqrt {2}}=1{,}41421356237309...$.

Menge der komplexen Zahlen (${\mathsf {\,I}}\!\!\!\mathrm {C}$)

Durch die Erweiterung der rationalen Zahlen zu den reellen Zahlen sind alle Lücken auf dem Zahlenstrahl gefüllt worden. Wenn wir jetzt überlegen, welche Zahlen noch hinzukommen könnten, müssen wir den Zahlenstrahl verlassen, um solche neuen Zahlen darzustellen. Die Frage, ob dies dann noch Zahlen im eigentlichen Sinne sind, ist dann natürlich berechtigt. Es gibt zudem schon die Möglichkeit, durch Angabe einer zweiten (reellen) Zahl anzugeben, wieweit man sich in einer anderen Richtung von der Null entfernen möchte und damit vom Zahlenstrahl. Dazu aber mehr in einem Kapitel Vektorrechnung.

Es gibt aber einen Grund, nach weiteren "Zahlen" zu suchen, auch wenn diese nicht mehr auf den Zahlenstrahl passen. Alle bisherigen Zahlbereichserweiterungen haben stattgefunden, weil Ergebnisse von Rechenoperationen nicht mehr in der jeweiligen Menge gefunden werden konnten. Und so ist es mit der Berechnung von Wurzeln aus reellen Zahlen, insbesondere der Berechnung von Wurzeln aus negativen reellen Zahlen. Um auch Lösungen hierfür angeben zu können, hat man die Menge der reellen Zahlen auf die Menge der komplexen Zahlen erweitert. Sie haben sich in vielen Bereichen mathematischer Berechnungen bewährt, in denen Formeln und Rechenwege einfacher werden. Dies gilt zum Beispiel in der Physik hauptsächlich für die Elektrotechnik und die Mechanik. Mit komplexen Zahlen können einige "komplexe Dinge" besser eingefangen und kompakter beschrieben werden.

Die Menge der komplexen Zahlen bezeichnet man mit dem Zeichen ${\mathsf {\,I}}\!\!\!\mathrm {C}$ (manchmal auch $\mathbb {C}$). Wie bei den zuvor beschriebenen Zahlenmengen kann man die in ${\mathsf {\,I}}\!\!\!\mathrm {C}$ enthaltenen Zahlen mithilfe der bereits bekannten Mengen ausdrücken:

${\mathsf {\,I}}\!\!\!\mathrm {C} =\{\,a+bi\,\mid \,a\in \mathrm {I\!R} \,;\,\,b\in \mathrm {I\!R} \,;\,\,i^{2}=-1\,\}$.

Auch wenn dies auf den ersten Blick verwirrend aussehen mag, ist diese Schreibweise schnell erklärt: Die Zahlen in der Menge der komplexen Zahlen sind aus zwei Teilen zusammengesetzt. Der erste Teil ($a$) ist eine reelle Zahl, der zweite Teil ($bi$) ist das Produkt aus der ebenfalls reellen Zahl $b$ mit einem festen, konstanten Wert $i$. (Der Mal-Punkt zwischen $b$ und $i$ wurde weggelassen.) Dieses $i$ ist also das einzig Neue an den komplexen Zahlen und wird jetzt noch einmal genauer betrachtet. Man schreibt komplexe Zahlen so, wie sie in der Mengendefinition geschrieben wurden als $a+bi$, also zum Beispiel $3+5i$. Es wurden also nicht einfach die reellen Zahlen durch dieses eine $i$ ergänzt, sondern es wurde erlaubt, zu allen reellen Zahlen auch alle möglichen Vielfachen von $i$ hinzuzuaddieren.

Die Schreibweise (im Beispiel $5i$) ist ähnlich der alltäglichen Einheitenschreibweise für Längen (z.B. 5m), für Zeit (z.B. 9h) und für andere physikalische Größen. Entsprechend hat sich für $i$ auch die Bezeichnung imaginäre Einheit eingebürgert. Nun sollte man sich aber nicht wundern, wenn man in anderen Büchern dafür auch den Buchstaben j findet. Diese Bezeichnung für die imaginäre Einheit hat sich hauptsächlich in der Physik durchgesetzt, vermutlich weil das $I$ bereits in Formeln für die Stromstärke verwendet wird und man Verwechslungen vermeiden wollte.

Zusammenfassung

Die Zahlmengen noch einmal zusammengefasst:

$\mathrm {\,I\!N}$  = {1; 2; 3; 4; 5; ...}              Natürliche Zahlen
$\mathbb {Z} \,$  = {0; +1; -1; +2; -2; +3; -3; ...}  Ganze Zahlen
${\mathsf {\,l}}\!\!\!\mathrm {Q}$  = z.B. 1/4; -2; -1/2; 15            Rationale Zahlen
$\mathrm {\,I\!R}$  = z.B. 1/3; ${\sqrt {2}}$; ${\sqrt[{4}]{3}}$; $\!\pi$                 Reelle Zahlen
${\mathsf {\,I}}\!\!\!\mathrm {C}$  = z.B. 1; 4i; -41,3i; -3,2+5,7i       Komplexe Zahlen