Mathematikunterricht/ Sek/ Quadratische Funktion/ Zusammenfassung

Was man über quadratische Funktionen wissen sollte

Funktionsgleichung

Die Funktionsgleichungen haben die Form: $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$

Solche Funktionen nennt man quadratische Funktionen oder auch ganzrationale Funktionen 2. Grades.

Deren Graphen werden Parabeln genannt.

Scheitelpunkt und Scheitelpunktform

Allgemein gilt:

Ist $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$ die Funktionsgleichung einer Parabel, die den Scheitelpunkt $S(x_{s}|y_{s})\,$ besitzt, so ist $f(x)=a_{2}(x-x_{s})^{2}+y_{s}\,$ die Scheitelpunktform der Funktionsgleichung.

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Scheitelpunktbestimmung durch quadratische Ergänzung

Wir wissen bereits das gilt: Durch eine Termumformung der allgemeinen Funktionsgleichung in die Scheitelpunktform lässt sich der Scheitelpunkt einer Parabel ermitteln.

Beispiel:

Beispiel:

Beispiel:

Achsenschnittpunkte

	Der Schnittpunkt des Graphen mit der y - Achse ist $P_{y}(0|y_{s})\Rightarrow y_{s}=f(0)$ Der Schnittpunkt des Graphen mit der x - Achse ist $P_{xi}(x_{i}|0)\Rightarrow f(x_{i})=0$ für i = 1 ; 2

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Symmetriebetrachtung

Die nebenstehend abgebildete Parabel ist symmetrisch zu der Achse, die parallel zur y - Achse durch den Scheitelpunkt verläuft. Das gilt für alle Parabeln. Die Gleichung der Symmetrieachse durch den Scheitelpunkt $S(x_{s}|y_{s})\,$ lautet: $x=x_{s}\,$ (hier $x_{s}=3\,$) Auch die Nullstellen sind symmetrisch zu dieser Achse. Das bedeutet, bei bekannten Nullstellen kann der x - Wert des Scheitelpunktes berechnet werden.

Scheitelpunktberechnung mittels bekannter Nullstellen

Sind die Nullstellen der quadratischen Funktion $x_{1};x_{2}\,$ bekannt, dann lassen sich die Koordinaten des Scheitelpunktes wie folgt berechnen:

$x_{s}={\frac {x_{1}+x_{2}}{2}}\Rightarrow S(x_{s}|f(x_{s}))$

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p - q - Formel, Diskriminante und Lösungsmenge

Die Normalform einer quadratischen Gleichung lautet: $x^{2}+px+q=0\,$

p - q - Formel:

$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {{\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q}}\,$

Der Ausdruck unter der Wurzel wird Diskriminante genannt: $D={\bigg (}{\frac {p}{2}}{\bigg )}^{2}-q$

Mit dieser vereinfacht sich die Lösungsformel zu :$x_{1,2}=-{\frac {p}{2}}\pm {\sqrt {D}}\,$

Der Diskriminante kann man die Anzahl der Lösungen der quadratischen Gleichung entnehmen.

$D>0\Rightarrow L=\{x_{1};x_{2}\}$ Zwei Lösungselemente

$D=0\Rightarrow L=\{x\}$ Ein Lösungselement (Doppellösung)

$D<0\Rightarrow L=\{\}$ Kein Lösungselement

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Der Satz von Vieta

Sind $x_{1};x_{2}\,$ Lösungen der quadratischen Gleichung $x^{2}+px+q\,$ so können diese mit dem Wurzelsatz von Vieta $x_{1}+x_{2}=-p\,$ und $x_{1}\cdot x_{2}=q$ überprüft werden.

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Nullstellen und Linearfaktoren

Sind $x_{1}\,$ und $x_{2}\,$ die Nullstellen der quadratischen Funktion $f(x)=a_{2}x^{2}+a_{1}x+a_{0}\,$, so kann man die Funktionsgleichung auch als Produkt ihrer Linearfaktoren schreiben:

$f(x)=a_{2}\cdot (x-x_{1})(x-x_{2})$

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Schnittpunkt von Parabel und Gerade

$f(x)\,$ sei die Funktionsgleichung einer Parabel und $g(x)\,$ die einer Geraden.

Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow \,$ quadratische Gleichung.

Falls nun:

$D>0:\Rightarrow \,$ Die Parabel und die Gerade schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow \,$ Die Parabel und die Gerade berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow \,$ Die Parabel und die Gerade haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

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Schnittpunkt zweier Parabeln

$f(x);g(x)\,$ seien die Funktionsgleichungen zweier Parabeln.

Ansatz: gleichsetzen der Funktionsgleichungen $f(x)=g(x)\Rightarrow \,$ quadratische Gleichung.

Falls nun:

$D>0:\Rightarrow \,$ Die Parabeln schneiden sich in zwei Punkten.

$D=0:\Rightarrow \,$ Die Parabeln berühren sich in einem Punkt.

$D<0:\Rightarrow \,$ Die Parabeln haben keinen gemeinsamen Schnittpunkt.

$f(x)-g(x)\Rightarrow \,$ lineare Gleichung $\Rightarrow \,$ Die Parabeln haben einen gemeinsamen Schnittpunkt.

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Weblinks

• Übungen zu Quadratischen Funktionen
• Parabelanalysator Eine umfassende Analyse mit Darstellung des Graphen (JavaScript interaktiv).
• Schnittpunkte von Parabel und Gerade Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Schnittpunkte zweier Parabeln Berechnung der Schnittpunkte und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Parabel durch drei Punkte Berechnung der Funktionsgleichung und Darstellung der Graphen (JavaScript interaktiv).
• Videolektion + Lernsoftware zu den Quadratischen Funktionen (EchtEinfach.tv)