Mathematikunterricht/ Sek/ Quadratisches Ergänzen

Wurzeln

Man beachte, dass die Gleichung $x^{2}=a,a\in \mathbb {R} _{0}^{+}$ zwei Lösungen hat! Es gilt nämlich:

$x^{2}=a\Leftrightarrow \left|x\right|={\sqrt {a}}$ Um den Betrag aufzulösen, muss man in $\pm$ einfügen, die Lösungen lauten also $-{\sqrt {a}}$ und ${\sqrt {a}}$, zusammengefasst $\left|x\right|={\sqrt {a}}\Leftrightarrow x_{1,2}=\pm {\sqrt {a}}$

Lösen von quadratischen Gleichungen durch quadratisches Ergänzen

Gleichungen der Form $x^{2}=18$ zu lösen, bereitet jetzt nach Einführung der Quadratwurzel keine Probleme mehr, die Lösung ist $x=\pm {\sqrt {18}}=\pm {\sqrt {2\cdot 3\cdot 3}}=\pm 3{\sqrt {2}}$. Was tut man aber mit Gleichungen, welche nicht so einfach sind?

Direkte Lösung (ohne Satz von Vieta o.ä.). Da der Satz von Vieta nicht verwendet wird, ist diese direkte Lösung komplizierter, aber dafür mindestens genau so lehrreich.

Die direkte Lösung der Gleichung erfolgt, indem wir die quadratische Gleichung in eine Gleichung der Form $y^{2}=const$ umzuformen. Diese Gleichung zu lösen, bereitet keinerlei Schwierigkeiten. Nebenbei lernen wir dabei auch gleich die nützliche Methode des quadratischen Ergänzens kennen.

Problem: Es soll die Gleichung $ax^{2}+bx+c=0$ mit $a,b,c,x\in \mathbb {R}$. Für a,b,c machen wir zunächst außer ($a\neq 0$, damit es eine quadratische Gleichung ist) keine weiteren Einschränkungen; sonstige Einschränkungen ergeben sich während der Rechnung automatisch.

Zunächst einmal dividieren wir durch a (wobei wir $a\neq 0$ bereits oben angenommen haben):

$x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {c}{a}}=0$

Jetzt bedienen wir uns der Technik des quadratischen Ergänzens. Wir formen die Gleichung so um, dass sie die Form $(irgendwas)^{2}=Konstante$ bekommt.

Da der in x quadratische ($x^{2}$) Summand und der in x lineare (${\frac {b}{a}}$) Summand addiert werden, erscheint es zweckmäßig, es zunächst einmal mit der binomischen Formel $\left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}$ zu versuchen. Man erhält $\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}=x^{2}+{\frac {2b}{2a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$. Vergleich mit oben zeigt, dass das in x quadratische und das lineare Glied der Summe schon mal die von uns gewünschte Form haben, bloß der Term ${\frac {b^{2}}{4a^{2}}}$ stört noch und der Term ${\frac {c}{a}}$ fehlt. Das kann man aber leicht durch Addieren oder Subtrahieren der störenden/fehlenden Terme reparieren:

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\underbrace {-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}} _{Reparatur}=x^{2}+{\frac {2b}{2a}}\cdot x+{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=x^{2}+{\frac {2b}{2a}}\cdot x+{\frac {c}{a}}=x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {c}{a}}$

Ein Vergleich mit oben zeigt, dass wir das ursprüngliche Problem jetzt in einen von x abhängigen Ausdruck, der quadriert wird, und einen konstanten Teil umgeformt haben. Mit der nützlichen Definition $\alpha :=x+{\frac {b}{2a}}$ formen wir um:

$x^{2}+{\frac {b}{a}}\cdot x+{\frac {c}{a}}=\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}\underbrace {-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}} _{Reparatur}=\alpha ^{2}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+{\frac {c}{a}}=0\Leftrightarrow$

Jetzt formen wir ein wenig um und erhalten eine Gleichung, die wir schon lösen können:

$\alpha ^{2}={\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

Die Lösung lautet (ähnlich wie bei der Beispielgleichung $x^{2}=18$):

$\alpha _{1,2}=\pm {\sqrt {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{\sqrt {4a^{2}}}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}$

Wenn wir uns noch die Definition von $\alpha$ ins Gedächtnis rufen, dann folgt schnell:

$\alpha _{1,2}=x_{1,2}+{\frac {b}{2a}}=\pm {\frac {\sqrt {b^{2}-4ac}}{2a}}\Leftrightarrow x_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}$

Wir haben also jetzt die sog. Mitternachtsformel erhalten und als einzige Einschränkung erhalten wir aufgrund der Tatsache, dass der Radikand einer Quadrat-Wurzel nie negativ sein darf. Man unterscheidet anhängig vom Wert der sog. Diskriminante drei Fälle:

• $b^{2}-4ac>0$ Es gibt genau zwei Lösungen der quadratischen Gleichung
• $b^{2}-4ac=0$ Es gibt genau eine Lösung der quadratischen Gleichung. Man sagt die Lösung habe die Vielfachheit 2.
• $b^{2}-4ac<0$ Es gibt (bis auf weiteres) keine Lösung der quadratischen Gleichung

Aufgaben zur quadr. Gl.

• $x^{2}+2x=0$
• $x^{2}-x-6=0$