Mathematik für Faule: Zahlentheorie/Der Satz von Euklid–Alhasen–Euler

Satz ():

Beweis: Für die andere Richtung schreiben wir $n=2^{k}x$ mit $(x,2)=1$. Dann lautet die Bedingung dafür, dass $n$ perfekt ist, wie folgt:

$\sigma (2^{k}x)=\sigma (2^{k})\sigma (x)=(2^{k+1}-1)\sigma (x){\overset {!}{=}}2^{k+1}x$.

In der letzten Gleichung sind aber $2^{k+1}-1$ und $2^{k+1}$ teilerfremd, sodass nach dem Euklidischen Zerlegungssatz

$2^{k+1}-1=x$ und $\sigma (x)=2^{k+1}$

gelten müssen. Dies ist nur dann möglich, wenn $x$ eine Primzahl ist, denn sonst hätte $\sigma (x)$ noch mehr Summanden für zusätzliche Faktoren. $\Box$