Mathematik für Faule: Zahlentheorie/Der Primzerlegungssatz und Zusätze

Satz (Euklidische Formel für Pythagoräische Tripel):

Beweis: Wir schreiben die Gleichung

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$ stattdessen als $(a+ib)(a-ib)=c^{2}$.

Wenn der Tripel primitiv ist, so können $a+ib$ und $a-ib$ keine gemeinsamen Primfaktoren haben. Denn falls $\pi$ ein solcher gemeinsamer Primfaktor wäre, so würde durch $i$-Reflektion folgen, dass auch ${\overline {\pi }}$ sowohl $a+ib$ als auch $a-ib$ teilt. Somit sind beide durch $\pi {\overline {\pi }}\in \mathbb {Z}$ teilbar (oder sonst $\pi \in \mathbb {Z}$ und beide sind dadurch teilbar), und somit auch $a$ und $b$ (denn $(a+ib)/d=(a/d)+i(b/d)$ für $d\in \mathbb {R}$, und die Darstellung als ebene Zahl ist eindeutig) sowie $c$, ein Widerspruch. $\Box$