Mathematik für Faule: Topologie/ Simplexquotienten

Satz (Überdeckungssatz der Simplexquotienten):

Es sei $X$ ein topologischer Raum und ${\mathcal {U}}$ eine randlose Überdeckung von $X$. Dann gilt für alle $n\in \mathbb {N} _{0}$

$H_{n}(X)\cong H_{n}^{\mathcal {U}}(X)$.

Beweis: Wir definieren den Dipfeil $\Phi :H_{n}(X)\to H_{n}^{\mathcal {U}}(X)$ wie folgt: Es sei $F$ die Freudenthal-Zerlegung, und des weiteren ein Element ${\overline {\alpha }}\in H_{n}(X)$ durch einen Zyklus $\alpha$ gegeben. Dann definieren wir $\Phi ({\overline {\alpha }})$ als $F^{k}(\alpha )$, wobei $k$ nach dem Satz von Lebesgue hinreichend groß gewählt wurde, dass jedes Simplex von $F^{k}(\alpha )$ in einem $U\in {\mathcal {U}}$ enthalten ist.

Es bleibt zu beweisen, dass diese Zuordnung wohldefiniert ist und einen Invoid-Dipfeil darstellt. Sei also zunächst $\gamma \in C_{n+1}(X)$. Dann gilt $F^{k}(\alpha +\partial \gamma )=F^{k}(\alpha )+\partial F(\gamma )$. Da die Freudenthal-Zerlegung auf den Simplexquotienten die Identität ist, gilt somit

$F^{k}(\alpha +\partial \gamma )\equiv F^{m}(\alpha )$

für jedes $m$, sodass alle Simplizes von $F^{m}(\alpha )$ in wenigstens einem $U\in {\mathcal {U}}$ enthalten sind. Somit ist die Wohldefiniertheit bewiesen. Die Additivität von $\Phi$ allerdings folgt (fast) unmittelbar aus der von $F$. $\Box$