Mathematik für Faule: Topologie/ Konvexe Zuordnungen

Satz (Supremumsdarstellung nichtlimessenkender, konvexer Zuordnungen):

Es sei $\varphi :V\to [-\infty ,\infty ]$ konvex und nichtlimessenkend. Dann gilt

$\varphi =\sup _{g\leq \varphi \atop g{\text{ linear}}}g$.

Beweis: Die Epimenge einer nichtlimessenkenden Zuordnung ist stets vollberandet. Daher kann auf diese Epimenge als Teilmenge des Linearitätsraumes $V\times \mathbb {R}$ der Halbraumschnittmengensatz angewendet werden. Da eine Epimenge durch Hinzunahme oder Wegnahme von vertikal verlaufenden Halbräumen, welche sie enthalten, nicht verändert wird, folgt die Behauptung. $\Box$

Satz ():

Es sei $\varphi :V\to [-\infty ,\infty ]$ konvex und nichtlimessenkend. Es sei ferner $v\in V$ mit $-\infty <\varphi (v)<\infty$. Dann gibt es in $v$ einen Subgradienten.

Beweis: Zunächst ist der Strahl $\{(v,r)|r>\varphi (v)\}$ in $\operatorname {int} (\operatorname {epi} \varphi )$ enthalten, denn sonst wäre ein Punkt im Strahl ein Randpunkt, und eine entsprechend gewählte Folge (bzgl. der Produkttoposmenge von $V\times \mathbb {R}$) lieferte einen Widerspruch zur Nichtlimessenkung.

Nun können wir den Satz von Hahn–Banach anwenden und erhalten den gewünschten Subgradienten als Hyperebene. $\Box$

Satz (Die Bilegendre-Transformation ordnet konvexe, nichtlimessenkende Zuordnungen sich selbst zu):

Es sei $\varphi :V\to [-\infty ,\infty ]$ konvex und nichtlimessenkend. Dann gilt $\varphi ^{**}=\varphi$.

Ein analoger Satz gilt für die Fenchel-Transformation und ein konkaves, nichtlimessteigerndes $\varphi$.

Beweis: Zunächst gilt

${\begin{aligned}\varphi ^{**}(v)&=\sup _{v^{*}\in V^{*}}\langle v^{*},v\rangle -\varphi ^{*}(v^{*})\\&=\sup _{v^{*}\in V^{*}}\left(\langle v^{*},v\rangle +\inf _{w\in V}(\varphi (w)-\langle v^{*},w\rangle )\right)\leq \varphi (v).\end{aligned}}$

Für die andere Richtung wählen wir im Supremum einen Subgradienten in $v$ (im Falle $\varphi (v)=-\infty$ ist ja nichts zu zeigen). $\Box$