Mathematik für Faule: Topologie/ Hausdorff-Distanz und Pompeiu-Räume

Definition (Punkt-Menge-Distanz):

Es sei ein Distanzraum, es sei beliebig, und es sei beliebig. Die Distanz von zu ist definiert als

.

Definition (Hausdorff-Distanz):

Es sei ein Distanzraum, und es seien beliebig. Die Hausdorff-Distanz von und ist dann gegeben durch

.

Satz (Der Name "Hausdorff-Distanz" ist gerechtfertigt):

Es sei ein Distanzraum. Dann ist eine Distanz auf .

Beweis: Die Symmetrie ist offensichtlich, daher müssen wir nur die Dreiecksungleichung beweisen. Diese aber folgt aus der leicht zu beweisenden Ungleichung

.

Satz (Charakterisierung von Hausdorff-Distanz null):

Es sei ein Distanzraum, und seien beliebig. Dann gilt

.

Beweis: Falls , so gilt z. B. für jedes , dass , woraus aber folgt (jede Schnittmenge von mit ist nichtleer). Falls andererseits , so ist oBdA. für ein , und somit .

Daher sind die beiden Aussagen äquivalent, da sie immer zusammen auftreten.

Definition (Pompeiu-Räume):

Es sei ein Distanzraum. Als Pompeiu-Räume definieren wir die folgenden Mengen, jeweils mit der Hausdorff-Distanz:

Es gilt offensichtlich . Des weiteren folgt aus , dass die Hausdorff-Distanz auf all diesen Räumen unterscheidend ist.

Satz (Maximum-Ungleichung):

Es seien und zwei Familien von Teilmengen eines Distanzraumes , die über dieselbe Indexmenge indiziert sind. Dann gilt

.

Beweis: OBdA. können wir annehmen, dass das Maximum in der Definition von vom ersten Eintrag angenommen wird. Also können wir wählen, sodass beliebig nahe an herankommt.

Dann gibt es aber ein mit . Daher, und wegen gilt die gewünschte Schranke.

Satz (Vererbung der Limesexistenz an die Hausdorff-Distanz):

Es habe alle Limites. Dann haben auch alle Pompeiu-Räume bezüglich alle Limites.

Beweis: Es sei eine Cauchy-Folge in einem der Pompeiu-Räume. Zuerst behandeln wir den Fall, dass absteigend ist, d. h. also .

Aufgaben

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    1. Es sei   ein unbeschränkter Distanzraum. Für welche Teilmengen   gilt   für alle beschränkten  ? Für welche   für alle beschränkten  ?
    2. Finden Sie einen Distanzraum   und eine Teilmenge  , sodass für überabzählbar viele   die Gleichung   gilt.