Mathematik für Faule: Topologie/ Hausdorff-Distanz und Pompeiu-Räume
Definition (Punkt-Menge-Distanz):
Es sei ein Distanzraum, es sei beliebig, und es sei beliebig. Die Distanz von zu ist definiert als
- .
Definition (Hausdorff-Distanz):
Es sei ein Distanzraum, und es seien beliebig. Die Hausdorff-Distanz von und ist dann gegeben durch
- .
Satz (Der Name "Hausdorff-Distanz" ist gerechtfertigt):
Es sei ein Distanzraum. Dann ist eine Distanz auf .
Beweis: Die Symmetrie ist offensichtlich, daher müssen wir nur die Dreiecksungleichung beweisen. Diese aber folgt aus der leicht zu beweisenden Ungleichung
- .
Satz (Charakterisierung von Hausdorff-Distanz null):
Es sei ein Distanzraum, und seien beliebig. Dann gilt
- .
Beweis: Falls , so gilt z. B. für jedes , dass , woraus aber folgt (jede Schnittmenge von mit ist nichtleer). Falls andererseits , so ist oBdA. für ein , und somit .
Daher sind die beiden Aussagen äquivalent, da sie immer zusammen auftreten.
Definition (Pompeiu-Räume):
Es sei ein Distanzraum. Als Pompeiu-Räume definieren wir die folgenden Mengen, jeweils mit der Hausdorff-Distanz:
Es gilt offensichtlich . Des weiteren folgt aus , dass die Hausdorff-Distanz auf all diesen Räumen unterscheidend ist.
Satz (Maximum-Ungleichung):
Es seien und zwei Familien von Teilmengen eines Distanzraumes , die über dieselbe Indexmenge indiziert sind. Dann gilt
- .
Beweis: OBdA. können wir annehmen, dass das Maximum in der Definition von vom ersten Eintrag angenommen wird. Also können wir wählen, sodass beliebig nahe an herankommt.
Dann gibt es aber ein mit . Daher, und wegen gilt die gewünschte Schranke.
Satz (Vererbung der Limesexistenz an die Hausdorff-Distanz):
Es habe alle Limites. Dann haben auch alle Pompeiu-Räume bezüglich alle Limites.
Beweis: Es sei eine Cauchy-Folge in einem der Pompeiu-Räume. Zuerst behandeln wir den Fall, dass absteigend ist, d. h. also .
Aufgaben
Bearbeiten- Es sei ein unbeschränkter Distanzraum. Für welche Teilmengen gilt für alle beschränkten ? Für welche für alle beschränkten ?
- Finden Sie einen Distanzraum und eine Teilmenge , sodass für überabzählbar viele die Gleichung gilt.