Mathematik für Faule: Mengenlehre/Das von Neumann-Universum

Beweis: Es sei

${\mathcal {Q}}^{\alpha }:={\mathcal {P}}^{\alpha }\setminus \bigcup _{\beta <\alpha }{\mathcal {P}}^{\beta }$.

Diese Menge ist mingeordnet, denn Teilmengen einer mingeordneten Menge sind mingeordnet.

Dann ist für jedes Limesordinal $\gamma$ die disjunkte Vereinigung

${\mathcal {P}}^{\gamma }=\bigsqcup _{\beta <\gamma }{\mathcal {Q}}^{\beta }$

lexikographisch mingeordnet. Für Nachfolgerordinale folgt die Behauptung aus der Annahme, und somit ist jedes ${\mathcal {P}}^{\alpha }$ mingeordnet.

Aber im von Neumann-Universum ist jede Menge in einer Stufe enthalten, und Teilmengen einer mingeordneten Menge sind mingeordnet. $\Box$