Mathematik für Faule: Mehr über Arithmoide/ Primpotenzoidzerlegung

Satz (Existenz der Primpotenzoidzerlegung):

Es sei $M$ ein endlich erzeugter Linearraum bzgl. eines Noetherschen Arithmonids $R$, und es sei $N\subseteq M$ ein Unterraum. Dann gibt es eine Primpotenzoidzerlegung von $N$.

Beweis: Da $M$ selbst Noethersch ist, kann man $N$ als die Schnittmenge von lauter Nichtschnitten schreiben. Wir sind also fertig, wenn wir beweisen können, dass jeder Nichtschnitt ein Primpotenzoid ist. Dies ist wie folgt möglich: Zunächst beweisen wir, dass $\operatorname {Nilprim(M/N)}$ wenigstens zwei Elemente enthält, wenn $N$ kein Primpotenzoid ist. Angenommen, das wäre nicht der Fall. Wenn $M/N=\langle {\overline {x}}_{1},\ldots ,{\overline {x}}_{n}\rangle$ ist, so ist

$\operatorname {ann} (M/N)=\bigcap _{j=1}^{n}\operatorname {ann} ({\overline {x}}_{j})$.

Es sei nun $p\in \operatorname {Nilprim(M/N)}$ das eine Element. Angenommen, dass für $b\in p$ nicht gilt $b^{n}\in \operatorname {ann} ({\overline {x}}_{j})$ für ein hinreichend großes $n$. Dann können wir die Brucheinführung bzgl. $S=\{b^{n}|n\in \mathbb {N} \}$ durchführen und erhalten, dass $p\in \operatorname {Prim} (R_{S})$, da $M_{S}$ nichttrivial ist, da ${\overline {x}}_{j}/1$ von $b^{n}$ für jedes $n$ nicht annihiliert wird, ein Widerspruch zu $b\in p$. Also gilt wegen der Endlichkeit der Schnittmenge $b^{m}\in \operatorname {ann} (M/N)$ für hinreichend großes $m$. Daraus folgt, dass

$p={\sqrt {\operatorname {ann} (M/N)}}$.

Dann ist aber $N$ ein Primpotenzoid, denn jedes $a\in \operatorname {ann} ({\overline {x}})$ (also übersetzt $ax\in N$) ist dann in $p$, wenn ${\overline {x}}\neq 0$ (d. h. $x\notin N$), weil $p$ gerade das eindeutige maximale Element unter den Annihilatoren ist. Dies steht im Widerspruch zur Annahme. Also enthält $\operatorname {Nilprim(M/N)}$ zwei verschiedene Elemente $p$ und $q$. Dann hat aber $M/N$ zwei Unterräume, die jeweils isomorph zu $R/p$ bzw. $R/q$ sind, und deren Schnittmenge wegen z. B. $\operatorname {ann} ({\overline {x}})=p$ für Elemente des ersteren Unterraumes null ist, und somit war $N$ kein Nichtschnitt, ein Widerspruch. $\Box$

Satz (Eindeutigkeitssatz für die Primfaktorzerlegung):

Es sei $R$ ein nullteilerfreies Noethersches Arithmonid der Krulldimension 1, und es sei $I$ ein Ideal von $R$ verschieden von der Null. Dann sind alle Primfaktorzerlegungen von $I$ bis auf Umordnung gleich.

Beweis: Es seien

$I=P_{1}\cdots P_{n}$ und $I=P_{n+1}\cdots P_{n+m}$

zwei Primfaktorzerlegungen von $I$, wobei die $P_{j}$'s natürlich nicht alle verschieden sein müssen (Primpotenzen werden in dieser Schreibweise ausgeschrieben). $P_{1}$ komme $k$ mal in der ersten Zerlegung vor. Es ist zu zeigen, dass $P_{1}$ mindestens $k$ mal in der zweiten Zerlegung vorkommt. Angenommen, es käme weniger oft vor, dh. die Primpotenz von $P_{1}$ ist in der zweiten Zerlegung niedriger als in der ersten. Die Primpotenzoiden, die $P_{1}$ als Radikal haben, sind zu den anderen Primpotenzoiden koprim, da das gegebene Arithmonid Krulldimension 1 hat. Daher ist das Produkt aus nach Radikal gruppierten Primpotenzoiden gleich der entsprechenden Schnittmenge. Indem man zur zweiten Primfaktorzerlegung noch einmal $P_{1}$ dazumultipliziert, ändert man also folglich nichts, da lediglich statt mit $P_{1}^{k'}$ mit $k'<k$ mit dem Primpotenzoid $P_{1}^{k}$ geschnitten wird. Daher gilt

$P_{1}I=I$,

und da $R$ nullteilerfrei ist, impliziert der Satz von Nakayama, dass $I=0$, was absurd ist. $\Box$

Satz (Charakterisierung der Primfaktoren):

Es sei $R$ ein nullteilerfreies Arithmonid der Krulldimension 1. Es sei ferner $I=P_{1}\cdots P_{n}$ die Primfaktorzerlegung von $I$. Ein Primideal $P$ kommt genau dann in $P_{1},\ldots ,P_{n}$ vor, wenn $I\subseteq P$ gilt.

Beweis: Falls $P$ in der Primfaktorzerlegung vorkommt, so gilt sicherlich $I\subseteq P$. Falls umgekehrt $I\subseteq P$ gilt und $P$ nicht in der Primfaktorzerlegung vorkäme, so könnte man die gegebene Primfaktorzerlegung mit $P$ schneiden und erhielte dadurch eine längere Primfaktorzerlegung im Widerspruch zur Eindeutigkeit. $\Box$