Mathematik für Faule: Maßtheorie/ Konvergenzsätze

Satz (Satz von der monotonen Konvergenz, Beppo Levi):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ ein Maßraum und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von nichtnegativen, messbarrücksendenden Zuordnungen $\Omega \to \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$, die jenseits einer Nullmenge punktweise monoton wachsend gegen eine Zuordnung $f_{\infty }:\Omega \to \mathbb {R} _{\geq 0}$ konvergiert. Dann gilt

$\int _{\Omega }\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\mu (dx)=\lim _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}(x)\mu (dx)$.

Beweis: Man wähle eine beliebige nicht-negative Indikatorkombination $g$, welche kleiner oder gleich $f_{\infty }$ ist. Wegen der monotonen Konvergenz von $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ ist die messbare Mengenfolge

$\{(x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} |y\leq g(x)\&y\leq f_{n}(x)\}$

eine Ausschöpfung der Menge

$\{(x,y)\in \Omega \times \mathbb {R} |y\leq g(x)$.

Da das Integral von $g$ beliebig nahe an dem von $f$ gewählt werden kann, folgt die Behauptung aus der Limestreue von Maßen. $\Box$

Satz (Fatou):

Es sei $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mu )$ ein Maßraum und $(f_{n})_{n\in \mathbb {N} }$ eine Folge von nichtnegativen, messbarrücksendenden Zuordnungen $\Omega \to \mathbb {R} _{\geq 0}\cup \{\infty \}$. Dann gilt

$\liminf _{n\to \infty }\int _{\Omega }f_{n}(x)\mu (dx)\geq \int _{\Omega }\liminf _{n\to \infty }f_{n}(x)\mu (dx)$.

Beweis: Aufgrund der Monotonie des Integrals gilt für jedes $N\in \mathbb {N}$ und $k\geq N$

$\int _{\Omega }\inf _{n\geq N}f_{n}(x)\mu (dx)\leq \int _{\Omega }f_{k}(x)\mu (dx)\Rightarrow \int _{\Omega }\inf _{n\geq N}f_{n}(x)\mu (dx)\leq \inf _{n\geq N}\int _{\Omega }f_{n}(x)\mu (dx)$.

Andererseits ist die Folge

$\left(\inf _{n\geq N}f_{n}(x)\right)_{N\in \mathbb {N} }$

nicht-negativ und streng monoton wachsend, sodass die Behauptung aus dem Satz von Beppo Levi folgt. $\Box$