Mathematik für Faule: Lineare Algebra/ Subtriviale Linearitätsräume

Satz (Charakterisierung subtrivial erzeugter Linearitätsräume):

Es sei $M$ ein Linearitätsraum bzgl. des Arithmonids $R$. Dann sind äquivalent:

1. $M$ ist subtrivial erzeugt
2. $M$ zerfällt als die direkte Summe einiger seiner subtrivialen Unterräume
3. Jeder Unterraum von $M$ hat ein Komplement

Beweis: 1. $\Rightarrow$ 2. folgt aus dem Lemma von Zorn, angewandt auf die durch Zusatzsummanden definierte partielle Ordnung auf den subtrivial erzeugten Unterräumen von $M$. Wenn 2. gilt, sei $N\leq M$. Dann ist auch $N$ subtrivial erzeugt und daher die direkte Summe einiger subtrivialer Unterräume seiner selbst. Wir nehmen nun zu diesen Unterräumen alle übrigen subtrivialen Unterräume von $M$ hinzu und können ? anwenden. Habe nun endlich jeder Unterraum von $M$ ein Komplement. Sei $L$ das Erzeugnis aller subtrivialen Unterräume von $M$. Es sei $x\in L$. Es sei $B$ das Bild eines maximalen Ideales $I\leq R$, welches den Kern der Abbildung $r\mapsto rx$ enthält. Es sei $C$ das Komplement von $B$ in $M$ und $D=Rx\cap C$. Dann gilt $D\cong R/I$, weshalb $D$ subtrivial ist, im Widerspruch zu $D\subset L$. $\Box$

Satz (Subtriviale Unterräume homogener Räume sind äquivalent):

Beweis: Es sei $N\leq M$ subtrivial, $x\in N$ und

$x=a_{1}y_{1}+\cdots +a_{r}y_{r}$

mit $a_{j}\in R$ und $y_{j}$ enthalten in subtrivialen Unterräumen $Y_{j}$, die zu $S$ äquivalent sind, wobei wir die $Y_{j}$ wegen der Subtrivialität als disjunkt voraussetzen können. Dann ist $N=Rx$ und

$rx\mapsto ra_{1}y_{1}$

ein nichttrivialer Pfeil, der wegen der Subtrivialität der beiden Unterräume $Y_{j}$ und $N$ ein Dipfeil ist. $\Box$