Definition (Signiertes Projektionsvolumen):
Es sei die Standardredugenmenge von und die zugehörigen Nillinearen. Dann ist das signierte Projektionsvolumen assoziiert zu einem Tupel mit der Elemente , notiert
- ,
definiert als das signierte Volumen desjenigen Parallelepipeds, welches von den Elementen
aufgespannt wird.
Man betrachtet also nur die Indices, die man vorher spezifiziert hat.
Definition (Dachprodukt):
Wir definieren das sog. Dachprodukt (für )
durch die binillineare Fortsetzung von
- .
Satz (Formel für das Dachprodukt):
Es gilt für und
- .
Beweis: Wegen der Binillinearität müssen wir die Formel nur für die prüfen. Hierzu bemerken wir, dass die rechte Seite, falls keine wiederholten Indices vorliegen, alle Eigenschaften einer Determinante aufweist.
Proposition (Determinantenformel):
Es sei , und es seien sowie . Dann gilt
- .
Beweis: Da gilt , da von der Normiertheit abgesehen alle Eigenschaften der Determinante aufweist (oder wegen Redugenmenge des alternierenden Raumes). Somit folgt die Behauptung unmittelbar aus der Multiplikativität der Determinante.